Loi de Tukey-lambda

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Loi de Tukey-lambda
Paramètres \lambda \in \mathbb R paramètre de forme
Support \begin{cases} x \in [\frac{-1}{\lambda},\frac{1}{\lambda}] & \text{ pour } \lambda>0 \\ x \in \mathbb R & \text{ pour } \lambda<0 \end{cases}
Densité de probabilité (fonction de masse) donnée par les quantiles :
(Q(p;\lambda)\,,Q'(p;\lambda)^{-1}),\, 0\leq\,p\,\leq\,1
Fonction de répartition (e^{-x}+1)^{-1}, \text{ pour }\lambda=0
Espérance 0 \text{ pour }\lambda > -1
Médiane 0
Mode 0
Variance \begin{cases} \frac{2}{\lambda^2}\bigg(\frac{1}{1+2\lambda}-\frac{\Gamma(\lambda+1)^2}{\Gamma(2\lambda+2)}\bigg) & \text{ si }\lambda > -1/2\\ \frac{ \pi^{2} }{ 3 } & \text{ si }\lambda=0\end{cases}
Asymétrie 0 \text{ pour }\lambda > -1/3
Kurtosis normalisé \frac{(2\lambda+1)^2}{2(4\lambda+1)} \frac{ g_2^2\big(3g_2^2-4g_1g_3+g_4\big)}{g_4\big(g_1^2-g_2\big)^2} - 3,
\scriptstyle g_k= \Gamma(k\lambda+1) et \scriptstyle\lambda > -1/4.
Entropie \int_0^1 \log (Q'(p;\lambda))\,dp[1]
Fonction caractéristique \int_0^1 \exp (\,i t\,Q(p;\lambda))\,dp[2]

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Différents paramétrages[modifier | modifier le code]

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles[3]:


G(p) \equiv F^{-1}(p) =
\begin{cases}
\left[p^\lambda - (1 - p)^\lambda\right]/\lambda, & \mbox{si } \lambda \ne 0 \\
\log(p) - \log(1-p), & \mbox{si } \lambda = 0
\end{cases}

Le paramètre \lambda est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1 approximativement une loi de Cauchy
λ = 0 exactement une loi logistique
λ = 0.14 approximativement une loi normale
λ = 0.5 strictement concave
λ = 1 exactement une loi uniforme continue sur]-1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

Lois de Tukey-lambda généralisées[modifier | modifier le code]

  • La version de Ramberg et Schmeiser[4]

G(p)= \lambda_1 + {p^{\lambda_3} - (1-p)^{\lambda_4}\over \lambda_2}

  • La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin[5]

G(p)= \lambda_1 + { { \frac{p^{\lambda_3}}{\lambda_3} - \frac{(1-p)^{\lambda_4}}{\lambda_4} } \over \lambda_2 }

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Oldrich Vasicek, « A Test for Normality Based on Sample Entropy », Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), vol. 38, no 1,‎ 1976, p. 54-59
  2. (en) W. T. Shaw et J. McCabe, « Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space », Eprint-arXiv:0903,1592,‎ 2009
  3. Hastings, C and Mosteller, F and Tukey J W and Winsor, C P. Low moments for small samples: a comparative study of order statistics, Ann. Math. Statist. 18,413-426 ; 1947
  4. Ramberg, John S. and Schmeiser, Bruce W., An approximate method for generating symmetric random variables, Communications of the ACM, Volume 15, Issue 11 (November 1972) Pages: 987 - 990, Year of Publication: 1972
  5. Freimer, M and Mudholkar, GS and Kollia, G and Lin GT, A study of the generalized tukey lambda family, Communications in Statistics-Theory and Methods, 1988

Liens externes[modifier | modifier le code]