Loi de Lenz-Faraday

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En physique, la loi de Lenz-Faraday, ou loi de Faraday, permet de rendre compte des phénomènes macroscopiques d'induction électromagnétique. Fondée sur les travaux de Michael Faraday en 1831, et sur l'énoncé de Heinrich Lenz de 1834, elle est aujourd'hui déduite de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

Il s'agit d'une loi de modération, ce qui signifie qu'elle décrit des effets qui s'opposent à leurs causes. Cette modération est un effet relativiste de dilatation du temps appliqué aux particules chargées en mouvement.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Cas d'un circuit immobile[modifier | modifier le code]

Le circuit orienté C délimitant une surface ouverte S de normale unité \mathbf{n} est traversé par un champ magnétique \mathbf{B}.

La forme intégrale, historique, de la loi de Lenz-Faraday était au départ empirique. Un circuit  C immobile soumis à un flux magnétique  \Phi (issu d'un champ magnétique  \mathbf{B}) variable est le siège d'une force électromotrice  \varepsilon telle que :

\quad (1) \qquad \varepsilon = - \frac{\mathrm d \Phi}{\mathrm dt}

 \varepsilon = \oint_{C}\mathbf{E} \cdot \, \mathrm d \mathbf{l} est la circulation du champ électrique  \mathbf{E} induit par cette variation de flux magnétique  \Phi = \iint_S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm dS.

Notons que pour parfaitement définir le signe des membres de gauche et droite de la loi de Faraday dans l'équation (1), il faut choisir un sens d'orientation dans le circuit  C et une orientation sur la surface  S. La normale  \mathbf{n} à la surface  S est généralement choisie de telle sorte qu'un courant positif (circulant dans le sens choisi pour le circuit  C) créé un champ magnétique à flux positif.

Le signe « - » présent dans cette loi exprime la loi de Lenz, selon laquelle le courant induit i (relié à la force électromotrice induite par la loi e=R i, où  R est la résistance du circuit) a une orientation telle qu'il s'oppose à la variation du flux magnétique qui lui donne naissance. Pour illustrer ceci, supposons que \Phi(t) augmente entrainant une force électromotrice négative qui génère un courant électrique induit négatif, c'est-à-dire circulant dans le sens opposé à l'orientation choisie. Ainsi le champ magnétique associé au courant induit produit un flux négatif à travers la surface  S tendant donc à s'opposer à l'augmentation originale du flux magnétique. Le raisonnement reste le même si on suppose une diminution du flux magnétique.

Cas d'un circuit mobile[modifier | modifier le code]

Considérons à présent la loi de Faraday pour un circuit  C en mouvement à la vitesse \mathbf{v} mesurée dans le référentiel du laboratoire. Il faut absolument remarquer[1] que le champ électrique de la force électromotrice induite est le champ noté \mathbf{E'} en \mathrm d \mathbf{l} dans le référentiel où \mathrm d \mathbf{l} est au repos, car c'est ce champ électrique \mathbf{E'} qui est responsable de l'apparition du courant induit.

En remarquant que la dérivée totale du flux magnétique s'écrit[1] :

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \iint_S \mathbf{B}.\mathbf{n} dS = \iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\mathbf{n} dS + \oint_S (\mathbf{B} \wedge \mathbf{v}). \mathrm d \mathbf{l}

la loi de Faraday prend alors la forme suivante:

\quad (2) \qquad \varepsilon = \oint_{C}\mathbf{E'} \cdot \, \mathrm d \mathbf{l} = - \iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\mathbf{n} dS + \oint_{C}\mathbf{v} \wedge \mathbf{B} \cdot \, \mathrm d \mathbf{l}

On trouvera une autre façon tout aussi intéressante de présenter le cas des circuits mobiles dans la réference [2].

Forme locale[modifier | modifier le code]

Dans sa forme locale, due à James Clerk Maxwell, on peut l'écrire :

\vec{\nabla} \wedge \vec E = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

avec E le champ électrique, B le champ d'induction magnétique et \vec{\nabla} l'opérateur formel nabla, qui calcule ici le rotationnel du champ E. Cette relation est appelée équation de Maxwell-Faraday, ou équation locale de Faraday.

La forme locale, qui constitue l'une des quatre équations de Maxwell est posée comme postulat de l'électromagnétisme. Néanmoins, il est possible de vérifier que les deux formes, intégrale et locale, sont équivalentes. Posant comme point de départ la forme intégrale, on peut montrer la forme locale, et réciproquement.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Les variations de flux de B à travers la surface Σ créent un champ électrique induit dont la circulation le long du contour Γ est la tension induite e. n est la normale à la surface Σ.

Soit Σ une surface immobile quelconque de l'espace {\mathbb{R}}^3, de normale \vec n. Cette surface est traversée par un champ magnétique dont on suppose la cause extérieure. Le flux de \vec B à travers Σ est :

\Phi = \iint_\Sigma \vec  B \cdot \vec  n \, \mathrm d\Sigma

De plus, la force électromotrice e est égale à la circulation du champ électrique sur le contour \Gamma de Σ :

e = \oint_{\Gamma}\vec E \cdot \, \mathrm d \vec l

D'après le théorème de Stokes, on a :

e = \iint_{\Sigma} \left( \vec {\nabla} \wedge \vec E \right) \cdot \vec n \, \mathrm d\Sigma

Ainsi, la loi de Lenz-Faraday, qui s'écrit :

e = - \frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}

donne lieu à l'égalité suivante :

 e = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}{\iint_\Sigma\vec B \cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma} = - {\iint_\Sigma\frac{\partial}{\partial t}\vec B\cdot\vec n \, \mathrm d\Sigma}

Nous avons maintenant deux expressions intégrales de e, celles-ci étant valables quelle que soit la surface Σ, les intégrandes sont égaux, et on a :

\vec {\nabla} \wedge \vec{E} = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}

qui n'est autre que l'équation de Maxwell-Faraday, et que l'on qualifie aussi d'équation locale de Faraday. La démarche exactement inverse montre que, posant cette dernière équation comme postulat, on retrouve la forme intégrale.

Applications[modifier | modifier le code]

L'induction électromagnétique est un phénomène physique majeur à l'origine de multiples applications industrielles relevant de l'électrotechnique (conversion d'énergie électrique) comme les moteurs électriques et les transformateurs notamment.

La loi de Lenz-Faraday permet également d'interpréter les effets associés aux courants de Foucault.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jackson
  2. J.-P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, Électromagnétisme. Fondements et applications, 3e édition, Masson, Paris, 1997, chapitre 14 (Induction électromagnétique)

Annexes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • [Jackson] John David Jackson (trad. Christian Jeanmougin), Électrodynamique classique, Dunod, coll. « Sciences Sup »,‎ 2001, 880 p. (ISBN 2-10-004411-7)

Liens externes[modifier | modifier le code]