Loi de Laplace (thermodynamique)

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En thermodynamique, lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait, par exemple lors d'une transformation adiabatique et réversible[1], la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

Énoncé mathématique[modifier | modifier le code]

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

 \qquad P . V^{\gamma} = C_1
 \qquad T . V^{\gamma-1} = C_2
 \qquad T^{\gamma} . P^{1-\gamma} = C_3 = C_1^{1-\gamma}C_2^{\gamma}

  • P est la pression du gaz
  • V est le volume occupé par le gaz
  • T est la température du gaz
  • \gamma = \frac{C_P}{C_V} est le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire le rapport des capacités thermiques \displaystyle C_P à pression constante et \displaystyle C_V à volume constant.
  • C_1,  C_2 et C_3 étant trois constantes durant la transformation envisagée. Elles ne dépendent alors que du gaz parfait étudié et des conditions de la transformation.

Les relations de Laplace ne sont valables que si on suppose que \displaystyle\gamma ne dépend pas de la température.

Démonstration de la loi de Laplace[modifier | modifier le code]

Le premier principe de la thermodynamique annonce que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

\mathrm dU = \delta W + \delta Q\,\!

Le travail mécanique \delta W\,\! est le produit de la variation de volume \mathrm dV\,\! par la pression extérieure p exercée pour ce changement de volume : \delta W = -p\mathrm dV\,\!

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur :  \delta Q = 0\,\!

d'où \mathrm dU = -p\mathrm dV\,\!


Considérons maintenant l'enthalpie du système (H = U + pV\,\!) et sa variation :

\mathrm dH = \mathrm dU + p\mathrm dV + V\mathrm dp\,\!
\mathrm dH = -p\mathrm dV + p\mathrm dV + V\mathrm dp\,\!
\mathrm dH = V\mathrm dp\,\!


Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, l'énergie interne ainsi que l'enthalpie du système ne dépendant que de la température, il s'ensuit.

\mathrm dU = C_v\mathrm dT\,\! et \mathrm dH = C_p\mathrm dT\,\!

C_v et C_p sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et T est la température. L'unité de C_v et C_p est le J/K

Nous pouvons ainsi déduire 2 relations :

C_p\mathrm dT = V\mathrm dp\,\!
C_v\mathrm dT = -p\mathrm dV\,\!

Et en divisant l'une par l'autre :

{C_p\over C_v}=-{V\over \mathrm dV}{\mathrm dp\over p}\,\!
{C_p\over C_v}{\mathrm dV\over V}+{\mathrm dp\over p}=0\,\!

En posant  \gamma = {C_p \over C_v}

\gamma {\mathrm dV\over V}+{\mathrm dp\over p}=0\,\!

Pour un gaz parfait, C_p et C_v sont des indépendants de p et V, donc \gamma est constant. On obtient alors:

 \gamma\ln(V) + \ln(p) = Cte

et donc:

 p V^{\gamma} = Cte = p_0 V_0^{\gamma}

Si l'on choisit les variables T et p, à l'aide de l'équation d'état du gaz parfait, on obtient la relation déjà citée, qui relie la température à la pression dans le cas d'une transformation adiabatique d'un gaz parfait:

 \qquad T^{\gamma} . P^{1-\gamma} =  T_0^{\gamma} . P_0^{1-\gamma}

Elle peut aussi être formulée:

 {\gamma}\ln \frac{T}{T_0} = {(1-\gamma)}\ln \frac{p_0}{p}

Application numérique

Pour un gaz parfait monoatomique, \gamma = \frac{5}{3}, et on obtient:
 \ln \frac{T}{T_0} = \frac{2}{5} \cdot \ln \frac{p}{p_0}
Pour un gaz parfait diatomique, \gamma = \frac{7}{5}, et on obtient:
 \ln \frac{T}{T_0} = \frac{2}{7} \cdot \ln \frac{p}{p_0}

Application en météorologie et en vol à voile[modifier | modifier le code]

L'air est constitué principalement d'azote N_2 et de dioxygène  O_2 . Ces gaz sont diatomiques, Dans ces conditions, on a  \gamma = 7/5 [2], On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques à partir des tables NIST[3],, on obtient à 1000 hectopascals et T = 290 K,  C_p = 1.0413 kJ/g/K \quad C_v = 0.74303 kJ/g/K et donc  \gamma = 1.40142 . La loi de Laplace s'applique donc particulièment bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9.78 K / km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En toute rigueur il n'existe pas d'équivalence directe entre la propriété d'isentropie et celle d'adiabacité-réversibilité. Si l'application du second principe de la thermodynamique donne de manière évidente l'implication suivante : une réaction adiabatique et réversible est isentropique, il ne permet pas de retourner cette implication. En effet, si l'entropie d'un système est constante, on peut seulement conclure que le terme de création est égal à l'opposé du terme d'échange. En revanche si l'on rajoute à l'hypothèse d'isentropie celle de d'adiabacité (ou de réversibilité), alors on établit l'implication suivante : une réaction isentropique et adiabatique (respectivement réversible) est réversible (respectivement adiabatique).
  2. (en) « Les processus adiabatiques »
  3. « Propriétés thermophysiques des systèmes fluides »