Loi de Laplace (thermodynamique)

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En thermodynamique, lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait, par exemple lors d'une transformation adiabatique et réversible[1], la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

Énoncé mathématique[modifier | modifier le code]

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

P  V^{\gamma} = C_1
T  V^{\gamma-1} = C_2
T^{\gamma}  P^{1-\gamma} = C_3 = C_1^{1-\gamma}C_2^{\gamma}

  • P est la pression du gaz ;
  • V est le volume occupé par le gaz ;
  • T est la température du gaz ;
  • \gamma = \frac{C_P}{C_V} est le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire le rapport des capacités thermiques C_P à pression constante et C_V à volume constant, ou, en termes de capacités thermiques molaires \gamma = \frac{\bar C_P}{\bar C_V} ;
  • C_1,  C_2 et C_3 étant trois constantes durant la transformation envisagée. Elles ne dépendent que du gaz parfait étudié et des conditions initiales de la transformation.

Limitations

Les relations de Laplace ne sont valables :

Démonstration de la loi de Laplace[modifier | modifier le code]

Le premier principe de la thermodynamique induit que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

\mathrm dU = \delta W + \delta Q

Le travail mécanique \delta W est le produit de la variation de volume \mathrm dV par la pression extérieure P exercée pour ce changement de volume : \delta W = -P.\mathrm dV.

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur :  \delta Q = 0, d'où :

\mathrm dU = -P.\mathrm dV

Considérons maintenant l'enthalpie du système (H = U + PV) et sa variation :

\mathrm dH = \mathrm dU + P.\mathrm dV + V.\mathrm dP
\mathrm dH = -P.\mathrm dV + P.\mathrm dV + V.\mathrm dP
\mathrm dH = V.\mathrm dP

Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, l'énergie interne ainsi que l'enthalpie du système ne dépendant que de la température, il s'ensuit :

\mathrm dU = C_V.\mathrm dT
\mathrm dH = C_P.\mathrm dT

C_V et C_P sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et T est la température. L'unité de C_V et C_P est le joule par kelvin, J/K.

Nous en déduisons deux relations :

C_P.\mathrm dT = V.\mathrm dP
C_V.\mathrm dT = -P.\mathrm dV

d'où également :

\mathrm dT = {V \over C_P}.\mathrm dP = -{P \over C_V}.\mathrm dV
{C_P \over C_V}.{\mathrm dV \over V} = -{\mathrm dP \over P}

En posant  \gamma = {C_P \over C_V}  :

\gamma.{\mathrm dV \over V} = -{\mathrm dP \over P}

Intégrons cette relation entre deux états \left( P_0, V_0, T_0 \right) et \left( P, V, T \right), pour une quantité fixe de gaz n, avec :

\frac{P_0.V_0}{T_0}=\frac{P.V}{T}=n.R

Pour un gaz parfait, C_P et C_V ne dépendent que de la température. On considèrera que lors de la transformation \gamma est constant, malgré le changement de température. On obtient :

\gamma. \int_{V_0}^{V} {\mathrm dV \over V} = - \int_{P_0}^{P} {\mathrm dP \over P}
 \gamma.\ln \left( {V_0 \over V} \right) = - \ln \left( {P_0 \over P} \right)

et donc :

(1)  P. V^{\gamma} = P_0. { V_0 }^{\gamma}

Si l'on substitue dans (1) :

P_0 = {n.R.T_0 \over V_0}
P = {n.R.T \over V}

on obtient :

(2)  T. V^{\gamma-1} = T_0. { V_0 }^{\gamma-1}

Si l'on substitue également dans (1) :

V_0 = {n.R.T_0 \over P_0}
V = {n.R.T \over P}

on obtient :

(3)  P^{1 - \gamma}. T^{\gamma} = { P_0 }^{1 - \gamma}. { T_0 }^{\gamma}

Application numérique

Pour un gaz parfait monoatomique, \gamma = \frac{5}{3}, on obtient :
 \ln \frac{T}{T_0} = \frac{2}{5} \cdot \ln \frac{P}{P_0}
Pour un gaz parfait diatomique, \gamma = \frac{7}{5}, on obtient :
 \ln \frac{T}{T_0} = \frac{2}{7} \cdot \ln \frac{P}{P_0}

En toute rigueur[modifier | modifier le code]

En toute rigueur, les capacités thermiques C_P et C_V, et par conséquent \gamma, dépendent de la température. La loi de Laplace n'est donc pas exacte.

Connaissant la quantité de gaz n, les conditions initiales \left( P_0, T_0, V_0 \right) et la pression finale de la transformation isentropique P, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale T selon :

 \Delta S = \int_{T_0}^{T} {\frac{C_P}{T}}.\mathrm dT - n.R. \ln \left(\frac{P}{P_0}\right) = 0

Réciproquement, connaissant la température T finale, on peut ainsi calculer la pression P finale.

Puis l'on trouve le volume final V selon :

V = {P_0  \over P} . {T \over T_0} . V_0

Connaissant la quantité de gaz n, les conditions initiales \left( P_0, T_0, V_0 \right) et le volume final de la transformation isentropique V, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale T selon :

 \Delta S = \int_{T_0}^{T} {\frac{C_V}{T}}.\mathrm dT + n.R. \ln \left(\frac{V}{V_0}\right) = 0

Réciproquement, connaissant la température T finale, on peut ainsi calculer le volume V final.

Puis l'on trouve la pression finale P selon :

P = {V_0  \over V} . {T \over T_0} . P_0

Application en météorologie et en vol à voile[modifier | modifier le code]

L'air est constitué principalement d'azote \rm N_2 et de dioxygène \rm O_2 . Ces gaz sont diatomiques. Dans ces conditions, on a  \gamma = 7/5 [2].

On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques massique à partir des tables NIST[3], on obtient à 1000 hectopascals et T = 290 K :

  • \bar C_{P,m} = 1,0413 kJ/(g.K) ;
  • \bar C_{V,m} = 0,74303 kJ/(g.K).

et donc  \gamma = 1,40142 \approx \frac{7}{5}.

La loi de Laplace s'applique donc particulièment bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9,78 K/km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En toute rigueur il n'existe pas d'équivalence directe entre la propriété d'isentropie et celle d'adiabacité-réversibilité. Si l'application du second principe de la thermodynamique donne de manière évidente l'implication suivante : une réaction adiabatique et réversible est isentropique, il ne permet pas de retourner cette implication. En effet, si l'entropie d'un système est constante, on peut seulement conclure que le terme de création est égal à l'opposé du terme d'échange. En revanche si l'on rajoute à l'hypothèse d'isentropie celle de l'adiabacité (ou de la réversibilité), alors on établit l'implication suivante : une réaction isentropique et adiabatique (respectivement réversible) est réversible (respectivement adiabatique).
  2. (en) « Les processus adiabatiques »
  3. « Propriétés thermophysiques des systèmes fluides »