Loi de Laplace (thermodynamique)

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En thermodynamique, lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait, par exemple lors d'une transformation adiabatique et réversible, la loi de Laplace est une relation qui relie la pression et le volume, la température et le volume, ou la température et la pression.

Énoncé mathématique

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

$\qquad P . V^{\gamma} = C_1$

$\qquad T . V^{\gamma-1} = C_2$

$\qquad T^{\gamma} . P^{1-\gamma} = C_3 = C_1^{1-\gamma}C_2^{\gamma}$

où

• $P$ est la pression du gaz
• $V$ est le volume occupé par le gaz
• $T$ est la température du gaz
• $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ est le coefficient de Laplace du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire le rapport des capacités thermiques $\displaystyle C_P$ à pression constante et $\displaystyle C_V$ à volume constant.
• $C_1$,$C_2$ et $C_3$ étant trois constantes durant la transformation envisagée. Elles ne dépendent alors que du gaz parfait étudié et des conditions de la transformation.

Les relations de Laplace ne sont valables que si on suppose que $\displaystyle\gamma$ ne dépend pas de la température.

Démonstration de la loi de Laplace

Le premier principe de la thermodynamique annonce que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

$\mathrm dU = \delta W + \delta Q\,\!$

Le travail mécanique $\delta W\,\!$ est le produit de la variation de volume $\mathrm dV\,\!$ par la pression extérieure $p$ exercée pour ce changement de volume : $\delta W = -p\mathrm dV\,\!$

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur : $\delta Q = 0\,\!$

d'où $\mathrm dU = -p\mathrm dV\,\!$

Considérons maintenant l'enthalpie du système ($H = U + pV\,\!$) et sa variation :

$\mathrm dH = \mathrm dU + p\mathrm dV + V\mathrm dp\,\!$

$\mathrm dH = -p\mathrm dV + p\mathrm dV + V\mathrm dp\,\!$

$\mathrm dH = V\mathrm dp\,\!$

Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, l'énergie interne ainsi que l'enthalpie du système ne dépendant que de la température, il s'ensuit.

$\mathrm dU = C_v\mathrm dT\,\!$ et $\mathrm dH = C_p\mathrm dT\,\!$

où $C_v$ et $C_p$ sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et $T$ est la température. L'unité de $C_v$ et $C_p$ est le J/K

Nous pouvons ainsi déduire 2 relations :

$C_p\mathrm dT = V\mathrm dp\,\!$

$C_v\mathrm dT = -p\mathrm dV\,\!$

Et en divisant l'une par l'autre :

${C_p\over C_v}=-{V\over \mathrm dV}{\mathrm dp\over p}\,\!$

${C_p\over C_v}{\mathrm dV\over V}+{\mathrm dp\over p}=0\,\!$

En posant $\gamma = {C_p \over C_v}$

$\gamma {\mathrm dV\over V}+{\mathrm dp\over p}=0\,\!$

On suppose que $C_p$ et $C_v$ donc $\gamma$ constants. On obtient alors:

$\gamma\ln(V) + \ln(p) = Cte$

et donc:

$p V^{\gamma} = Cte$.

Application en météorologie et en vol à voile

L'air est constitué principalement d'azote $N_2$ et de dioxygène $O_2$. Ces gaz sont diatomiques, Dans ces conditions, on a $\gamma = 7/5$ On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques à partir des tables NIST, on obtient à 1000 hectopascals et T = 290 K, $C_p = 1.0413 kJ/g/K \quad C_v = 0.74303 kJ/g/K$ et donc $\gamma = 1.40142$. La loi de Laplace s'applique donc particulièment bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9.78 K / km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.