Loi de Darcy

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La loi expérimentale de Darcy ou loi de Darcy exprime le débit de fluide filtrant au travers d'un milieu poreux en fonction de sa conductivité hydraulique et du gradient de pression du fluide. Cette loi à été établie par Henry Darcy en 1856.

La loi de Darcy a d'abord été utilisée pour calculer les écoulements souterrains de l'eau ou d'un liquide, verticalement à travers le sol ou une couche géologique (stratifiée[1] ou karstique [2] notamment) vers une nappe phréatique sous-jacente par exemple[3], ou au travers d'un milieu poreux (comme, par exemple une roche calcaire, du sable ou au travers d'un barrage en terre).

Schéma de l'équipement utilisé par Darcy pour les essais à charge constante dans le calcul de la perméabilité
Cylindre incliné plein de sable, traversé par de l'eau, utilisée pour l'une des démonstrations de la loi dite "Loi de Darcy"

Formulation[modifier | modifier le code]

La loi de Darcy telle qu'elle a été formulée par Henry Darcy en 1856 dans l'appendice D de son célèbre ouvrage Les fontaines publiques de la ville de Dijon, exprime le débit Q d'un fluide incompressible qui s'écoule en régime stationnaire au travers d'un milieu poreux de section A et de longueur L sous l'effet d'une différence de charge ΔH.


 Q = K A \frac{\Delta H}{L}


avec :

  • Q : le débit volumique (m3/s) filtrant.
  • K : la conductivité hydraulique ou coefficient de perméabilité du milieu poreux (m/s), qui dépend à la fois des propriétés du milieu poreux et de celles du fluide.
  • A : la surface de la section étudiée (m2)
  •  \frac{\Delta H}{L}  : Le gradient hydraulique (i = ΔH/L), où ΔH est la différence des hauteurs piézométriques en amont et en aval de l'échantillon, L est la longueur de l'échantillon.

Généralisation[modifier | modifier le code]

formulation vectorielle locale[modifier | modifier le code]

Initialement globale (valable pour un milieu poreux homogène et un écoulement uniforme), la formulation de la loi de Darcy devint rapidement locale, généralisé à des écoulement tridimensionnels et à des milieux non saturés. Pour un milieu non saturé, la conductivité dépend de la teneur en eau. La loi de Darcy devient :

 \vec{q} = K(h) .\vec{\nabla}{H}

  • H représente la charge totale ou potentiel total de l'eau par unité de poids (m=J/N). La charge totale est égale à la somme des charges matricielles et gravitationnelles  H=h+z;
  • h représente le potentiel matriciel par unité de poids (m=J/N);
  • K(h) est un tenseur donnant la conductivité hydraulique du milieu poreux en fonction de la charge matricelle;
  •  \vec{q} est la vitesse de Darcy ou de filtration (vecteur flux volumique de fluide) (m³/m²/s=m/s).

La résolution local de la loi de Darcy la rend applicable à des corps poreux hétérogènes et à des écoulements non uniformes

fluide compressible[modifier | modifier le code]

La loi de Darcy est aujourd'hui généralisé à des fluides compressible en l'exprimant selon les propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide :


\vec{q} = -\frac{k}{\mu}(\vec{\nabla} p - \rho \vec{g})

  • \vec{q} est la vitesse de Darcy ou de filtration (vecteur flux volumique de fluide) (m/s),
  •  p la pression (kg/m/s2),
  •  \rho la masse volumique du fluide (kg/m3),
  •  \mu sa viscosité dynamique (kg/m/s),
  •  \vec{g}le vecteur accélération de la pesanteur (m/s2)
  •  k la perméabilité (m2), pouvant avoir un caractère tensoriel, dépendant uniquement du milieu poreux.

Sous cette forme généralisée, la loi de Darcy est très bien vérifiée par l’expérience, du moins dans un certain domaine : les déformations du milieu poreux doivent être négligeables, et l’écoulement du fluide, à l’échelle des pores, doit être bien décrit par les équations de Stokes (ce qui suppose l’écoulement suffisamment lent, i.e, pour des nombres de Reynolds faibles, sous des conditions stationnaires.). Cette loi, valable à l'échelle macroscopique (c'est-à-dire lorsque l'on ne cherche pas à représenter la géométrie de la matrice poreuse) peut être retrouvée en effectuant la prise de moyenne volumique du problème de Stokes qui régit l'écoulement à l'échelle du pore (c'est-à-dire lorsque l'on représente le fluide et la structure solide). En plus de démontrer la loi de Darcy, cette méthode permet également d'évaluer la perméabilité du milieu poreux via la résolution de problèmes de fermeture.

Conductivité hydraulique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Conductivité hydraulique.

La conductivité hydraulique K est un coefficient dépendant des propriétés du milieu poreux où l’écoulement a lieu (granulométrie, forme des grains, répartition et forme des pores), des propriétés du fluide concerné par les écoulements (viscosité, masse volumique) et de la saturation du milieu poreux. Elle s'exprime en fonction des propriétés intrinsèques du milieu poreux et du fluide :

 K = \frac{k . \rho . g}{\mu}

avec :

La conductivité hydraulique (et la perméabilité intrinsèque) est une fonction strictement décroissante du taux de saturation du milieu poreux ou du potentiel matriciel. Lorsque le milieu est saturé en eau (h \geqq 0), cette propriété est appelée conductivité hydraulique à saturation Ksat .


Vitesse de Darcy[modifier | modifier le code]

La vitesse de Darcy  v_{Darcy} ou \vec{u} est la rapport du débit filtrant  \vec{Q} par la surface filtrante  A (perpendiculaire au flux). La vitesse de Darcy est inférieure à la vitesse de pore  v_{pore} avec laquelle le fluide s'écoule au sein du milieu poreux : ces deux vitesses sont liées par la porosité utile du matériau \Phi.

v_{Darcy}=\frac{Q}{A}=v_{pore} . \Phi

La porosité est l'expression du rapport du Volume de vide (pores) sur le volume total du matériau considéré. Une perméabilité élevée exige une bonne porosité mais l'inverse n'est pas vrai. Une roche très poreuse peut avoir une perméabilité très faible (argiles par exemple). Ce genre de phénomènes trouve son explication au travers de l'équation de Kozeny-Carman. Cette dernière relie la perméabilité à la porosité du matériau au travers de grandeurs statistiques décrivant la géométrie et la répartition des pores[4].

Enjeux[modifier | modifier le code]

La loi de Darcy et ses dérivées (ex : Coefficient de Darcy-Weisbach, fonction non-linéaire) sont aujourd’hui utilisée dans les calculs quantitatifs de l'hydraulique, des sciences du sol, de la mécanique des roches [5], et de la gestion des risques pour calculer des coefficients de percolation, ou de circulation horizontale ou verticale de l'eau, selon la masse, la hauteur ou la pression d'un fluide présente en surface ou dans un milieu hydrophile, selon la porosité du milieu et selon la viscosité du fluide.

Elle permet par exemple aux modèles hydrauliques de mieux prévoir le débit d'un puits d'une source ou d'une fontaine, ainsi que des calculs quantitatifs affinés d'écoulement de l'eau (écoulements hypodermiques, écoulements en subsurface et conductivité hydraulique horizontale ou dans différents substrats lités ...)[6].


Elle a permis, à bien plus grande échelle d'évaluer la quantité d'eau transitoirement apportée à la nappe phréatique d'Alsace par une crue du Rhin ou comment le Rhin peut drainer le sommet de cette nappe en période sèche quand il est à l'étiage[7] ou de définir les quantités d'eau à injecter artificiellement dans la nappe alluviale de la Durance pour combler le déficit causé par les détournements d'eau utilisé pour 75 000 ha de cultures irriguées (jusqu'à 114 m3/s) et pour la production d'hydroélectricité[8].

Elle intervient pour des calculs plus complexes, par exemple de coefficients de filtration, ou de déplacement d'ondes et d'« amortissement » dans un milieu poreux saturé (stables ou déformables) en contexte de filtration dynamique par exemple modélisée par une « Loi de Darcy généralisée »[9]. Elle intervient aussi dans des domaines plus qualitatif comme le calcul du déplacement d'un panache salinisé[10] ou de pollution de l'eau dans une nappe, par exemple pour des déchets miniers[11]. Elle permet de caractériser les écoulement turbulent hydrauliquement lisse ou rugueux qui peuvent avoir une grande importance en terme de rendement dans les échangeurs thermiques[12], les capteurs solaires plan à eau (ou autre fluide)[13] et pompes à chaleur par exemple[14].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Marie C, Simandoux P, Pacsirszky J & Gaulier C (1967) Étude du déplacement de fluides miscibles en milieu poreux stratifié. Revue de l'Inst. Français du Pétrole. 22, N°2 , 272-294
  2. Schoeller H (1967) [http://ks360352.kimsufi.com/redbooks/a073/073002.pdf Hydrodynamique dans le karst. Chronique d'Hydrogéologie, 10, 7-21.
  3. Berkaloff E (1966) Effet de capillarité sur l'écoulement d'eau dans les nappes libres recelées par des roches à interstices fin. Wageningen.
  4. (en) Jun Feng Wang, « Permeability Prediction of Fibrous Porous Media in a Bi-Periodic Domain », Journal of Composite Materials, SAGE Publications, vol. 42,‎ 2008, p. 909
  5. Talobre J (1957) La mécanique des roches : appliquée aux travaux publics. Dunod.
  6. Beckers E & Degré A (2011) Revue bibliographique : la prise en compte des transferts horizontaux dans les modèles hydrologiques. Revue de Biotechnologie, Agronomie, Société et Environnement, 15(1). (PDF, 9 pages)
  7. Prudhomme P, Ungemach P & Rognon P (1968) Étude sur modèle anlogique électrique de l'alimentation par le Rhin de la nappe phréatique d'Alasce. La Houille Blanche, (5), 419-428. (résumé)
  8. Muller-Feuga R & ruby P (1965) Alimentation artificielle de la nappe des alluvions de la basse-durance ; La Houille Blanche, n°3 (Avril 1965), pp. 261-267 (résumé)
  9. Borne L (1983) Contribution à l'étude du comportement dynamique des milieux poreux saturés déformables: étude de la loi de filtration dynamique (A contribution to the study of the dynamic behaviour of porous saturated deformable media: study of the law of dynamic filtration) ; thèse de Doctorat soutenue à l'université de Grenoble I, (notice Inist-CNRS/résumé).
  10. Fried JJ & Ungemach P (1971 ) Note on a dispersion model for a quantitative study of a ground water pollution by salt. Water Research. J. Intern Assoc. Water Pollut. Res., 5 , 491-495
  11. Fried JJ, Gamier JL & Ungemach P (1971) Aspects méthodologiques d'une étude de pollution de nappe d'eau souterraine. Assemblée générale, UGGI, Actes du colloque de Moscou, Aout 1971 ; AHS-AISH Publ. n°103, 1975
  12. Boultif N, Bougriou C & El Wakil N (2009) http://www.webreview.dz/IMG/pdf/Comportements_des_echangeurs_de_chaleur_a_tubes.pdfComportements des échangeurs de chaleur à tubes coaxiaux face aux perturbations] ; Revue des Énergies Renouvelables, 12(4), 607-615.
  13. Bekkouche SMA, Benouaz T & Bouayad F (2006) Modélisation thermique d’un capteur solaire plan à eau ; Proceeding du 8ème Séminaire International sur la Physique Energétique, SIPE, 11-12 nov 2006, Béchar (Algérie) PDF, 6p
  14. Bougriou C (1999) Étude d’un Récupérateur de Chaleur Croisé à Tubes Lisses. Revue des Énergies Renouvelables, 2, 109-122, PDF, 14pp.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (fr) Henry Darcy (1856), Les fontaines publiques de la ville de Dijon, V. Dalmont, Paris,
  • (fr) Guyon, E., Hulin, J.P., Petit, L., Mitescu, C.D. (2001), Physical hydrodynamics, Oxford University Press, Oxford,
  • (en) Stauffer, D. (1985), Introduction to Percolation Theory. Taylor and Francis, Philadelphia, Pennsylvania, USA.
  • (fr) Colombani J, lamagat JP & Thiebaux J (1973) http://horizon.documentation.ird.fr/exl-doc/pleins_textes/pleins_textes_4/hydrologie/16562.pdf Mesure de la perméabilité des sols en place: un nouvel appareil pour la méthode Muntz une extension de la méthode Porchet aux sols hétérogènes]. Hydrological Sciences Journal, 18(2), 197-235.
  • Muller-Feuga R & Ruby P (1961) Réflexions sur la porosité et la limite inférieure de la loi de Darcy. La houille blanche, 383-387 (extrait).