Loi d'Erlang

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Erlang
Image illustrative de l'article Loi d'Erlang
Densité de probabilité (ou fonction de masse)
Graphes de densités pour la distribution d'Erlang.

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Fonction de répartition
Graphes de fonctions de répartition pour la distribution d'Erlang.

Paramètres k > 0\, Paramètre de forme (entier)
\lambda > 0\, intensité (réel)
alt.: \theta = 1/\lambda > 0\, paramètre d'échelle (réel)
Support x \in [0; \infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}
Fonction de répartition \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}=1-\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!
Espérance k/\lambda\,
Médiane pas de forme simple
Mode (k-1)/\lambda\, pour k \geq 1\,
Variance k /\lambda^2\,
Asymétrie \frac{2}{\sqrt{k}}
Kurtosis normalisé \frac{6}{k}
Entropie k/\lambda+(k-1)\ln(\lambda)+\ln((k-1)!)\,
+(1-k)\psi(k)\,
Fonction génératrice des moments (1 - t/\lambda)^{-k}\, pour t < \lambda\,
Fonction caractéristique (1 - it/\lambda)^{-k}\,

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralité[modifier | modifier le code]

La distribution est continue et possède deux paramètres: le paramètre de forme k, un entier, et le paramètre d'intensité \lambda, un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle \theta=1/\lambda.

Lorsque le paramètre de forme k vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme k est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif.

Caractérisation[modifier | modifier le code]

Densité de probabilité[modifier | modifier le code]

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} \exp(-\lambda x) \over (k-1)!}\quad\mbox{pour }x>0.

Le paramètre k est le paramètre de forme, et \lambda le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle \theta, défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire \theta = 1/\lambda):

f(x; k,\theta)=\frac{ x^{k-1} \exp(-\frac{x}{\theta} )}{\theta^k(k-1)!}\quad\mbox{pour }x>0.

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

F(x; k,\lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}

\gamma() est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire:

F(x; k,\lambda) = 1-\sum_{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^{n}}{n!}

Occurrences[modifier | modifier le code]

Processus de renouvellement[modifier | modifier le code]

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre \lambda. Si chacune de ces variables aléatoires X_i représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par une exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire T_k = X_1 + \dots + X_k au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre \lambda.

Processus de Poisson[modifier | modifier le code]

Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire N_t égale au nombre d'entiers k tels que T_k \leq t suit une loi de Poisson de paramètre \lambda t[1]. Dans l'interprétation ci-dessus, N_t est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Didier Dacunha-Castelle, Marie Duflo, Probabilités et statistiques, T.1, problèmes à temps fixe, Masson (1982)