Loi Irwin-Hall

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loi Irwin-Hall
Image illustrative de l'article Loi Irwin-Hall
Densité de probabilité (ou fonction de masse)

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Fonction de répartition

Paramètres n\in \mathbb N
Support x \in [0,n]
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{1}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^{n-1}
Fonction de répartition \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor x\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(x-k)^n
Espérance \frac{n}{2}
Médiane \frac{n}{2}
Mode \begin{cases}
                  \text{toute valeur de } [0,1]  & \text{ pour } n=1   \\
                  \frac{n}{2}              & \text{sinon}
                \end{cases}
Variance \frac{n}{12}
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -\tfrac{6}{5n}
Fonction génératrice des moments {\left(\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}\right)}^n
Fonction caractéristique {\left(\frac{\mathrm{e}^{it}-1}{it}\right)}^n

En théorie des probabilités et en statistique, la loi Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue[1] sur \scriptstyle[0,1].

Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur \scriptstyle[0,1]

Définition[modifier | modifier le code]

La loi Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de n variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur \scriptstyle [0,1] :

 X = \sum_{k=1}^n U_k.

Sa densité de probabilité est donnée par

 f_X(x;n)=\frac{1}{2\left(n-1\right)!}\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^k{n \choose k}\left(x-k\right)^{n-1}\sgn(x-k)

\scriptstyle \sgn(x-k) est la fonction signe :

 \sgn\left(x-k\right) = \begin{cases}
-1 &  x < k \\
0 &  x = k \\
1 &  x > k. \end{cases}

Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré n sur les nœuds 0,1,\dots,n. Plus précisément, pour \scriptstyle x\in]k,k+1[, la densité est

 f_X(x;n) = \frac{1}{\left(n-1\right)!}\sum_{j=0}^{n-1} a_j(k,n) x^j

où les coefficients \scriptstyle a_j(k,n) sont obtenus par la relation de récurrence en k


a_j(k,n)=\begin{cases} 1&k=0, j=n-1\\
                       0&k=0, j<n-1\\
a_j(k-1,n) + \left(-1\right)^{n+k-j-1}{n\choose
  k}{{n-1}\choose j}k^{n-j-1} &k>0\end{cases}

L'espérance et la variance valent respectivement \frac{n}{2} et \frac{n}{12}.

Cas spéciaux[modifier | modifier le code]


f_X(x)= \begin{cases}
1        & 0\le x \le 1 \\
0      & \text{sinon}
\end{cases}

f_X(x)= \begin{cases}
x        & 0\le x \le 1\\
2-x      & 1\le x \le 2
\end{cases}
  • Pour \scriptstyle n=3,

f_X(x)= \begin{cases}
\frac{1}{2}x^2                         & 0\le x \le 1\\
\frac{1}{2}\left(-2x^2 + 6x - 3 \right)& 1\le x \le 2\\
\frac{1}{2}\left(x^2 - 6x +9 \right)  & 2\le x \le 3
\end{cases}
  • Pour \scriptstyle n=4,

f_X(x)= \begin{cases}
\frac{1}{6}x^3                         & 0\le x \le 1\\
\frac{1}{6}\left(-3x^3 + 12x^2 - 12x+4 \right)& 1\le x \le 2\\
\frac{1}{6}\left(3x^3 - 24x^2 +60x-44 \right)  & 2\le x \le 3\\
\frac{1}{6}\left(-x^3 + 12x^2 -48x+64 \right)  & 3\le x \le 4
\end{cases}
  • Pour \scriptstyle n=5,

f_X(x)= \begin{cases}
\frac{1}{24}x^4                         & 0\le x \le 1\\
\frac{1}{24}\left(-4x^4 + 20x^3 - 30x^2+20x-5 \right)& 1\le x \le 2\\
\frac{1}{24}\left(6x^4-60x^3+210x^2-300x+155 \right)  & 2\le x \le 3\\
\frac{1}{24}\left(-4x^4+60x^3-330x^2+780x-655 \right)  & 3\le x \le 4\\
\frac{1}{24}\left(x^4-20x^3+150x^2-500x+625\right) &4\le x\le5
\end{cases}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Balakrishnan, N.L. Jonhson et Kotz, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley,‎ 1995, 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0), section 26.9
  • Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 240–245.
  • Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 225–239.