Loi Bates

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Loi Bates
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Densité de probabilité (ou fonction de masse)

Paramètres \scriptstyle -\infty < a < b < \infty \,
n>1 réel
Support x \in [a,b]
Densité de probabilité (fonction de masse) \scriptstyle \frac{n^n}{\left(n-1\right)!}\sum_{k=0}^{\lfloor nx\rfloor}\left(-1\right)^k{n \choose k}\left(x-\frac{k}{n}\right)^{n-1}
pour \scriptstyle x\in ]0,1[
Espérance \tfrac{1}{2}(a+b)
Variance \tfrac{1}{12n}(b-a)^2
Asymétrie 0
Kurtosis normalisé -\tfrac{6}{5n}
Fonction caractéristique \left(-\frac{in (e^{\tfrac{ibt}{n}}-e^{\tfrac{iat}{n}}) }{(b-a)t}\right)^n

En théorie des probabilités et en statistique, la loi Bates, dénommée suivant la probabiliste Grace E. Bates, est la loi de probabilité de la moyenne de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme continue sur \scriptstyle [0,1][1].

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi Irwin-Hall qui est la somme de telles variables aléatoires.

Définition[modifier | modifier le code]

La loi Bates est la loi de probabilité de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires U_1,U_2,\dots,U_n iid de loi uniforme continue sur l'intervalle \scriptstyle [0,1] :

 X = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n U_k.

La densité de probabilité de la loi Bates est donnée par la formule suivante[2] :

 f_X(x;n)=
\begin{cases}\displaystyle\frac{n^n}{\left(n-1\right)!}\sum_{k=0}^{\lfloor nx\rfloor}\left(-1\right)^k{n \choose k}\left(x-\frac{k}{n}\right)^{n-1} & \text{ pour }x\in ]0,1[ \\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}

Plus généralement, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et uniformes sur \scriptstyle [a,b] :

 X_{(a,b)} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n U_k(a,b)

a pour densité de probabilité

 g(x;n,a,b) = f_X\left(\frac{x-a}{b-a};n\right) \text{ pour } a \leq x \leq b .\,

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) N. Balakrishnan, N.L. Jonhson et Kotz, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley,‎ 1995, 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0), section 26.9
  2. (en) Grace E. Bates, « Joint Distributions of Time Intervals for the Occurrence of Successive Accidents in a Generalized Polya Scheme », Annal of Mathematical Statistics, vol. 26, no 4,‎ 1955, p. 705-720 (lire en ligne)