Logarithme décimal

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Représentation graphique du logarithme décimal dans un repère orthogonal

Le logarithme décimal ou log10 ou simplement log est le logarithme de base 10. La norme ISO 80000-2[1] indique que log10 devrait être noté lg. Il est défini pour tout réel strictement positif x.

Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10.

Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction f(x)=10x :

pour x>0, si y = lg(x) alors x=10y.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les logarithmes décimaux sont parfois appelés logarithmes de Briggs. Henry Briggs, mathématicien britannique du XVIIe siècle, est l'auteur de tables de logarithmes décimaux publiées à Londres en 1624, dans un traité intitulé Arithmetica Logarithmetica.

Avant 1970, les calculatrices électroniques n'étaient pas encore d'un usage très répandu. Pour effectuer des produits ou des quotients, on utilisait encore des tables de logarithmes de base 10 ou des règles à calcul, et les calculs étaient effectués « à la main » sur papier. Les logarithmes de base 10 ou logarithmes décimaux étaient appelés logarithmes vulgaires, par opposition aux logarithmes de base e, dits logarithmes naturels ou logarithmes népériens.

Mantisse et caractéristique[modifier | modifier le code]

Les logarithmes des puissances entières de 10 se calculent aisément en utilisant la règle de conversion d'un produit en somme :

log(10) = 1 ; log(100) = log(10 * 10) = log(10) + log(10) = 2 ; log(1000) = 3 ; log(10^n) = n
log(0,1) = log\left(\frac{1}{10}\right)= - log(10) = -1 ; log(0,01) = - 2 ; log(0,001) = -3.

Les propriétés arithmétiques des logarithmes permettent de déduire la valeur de tout logarithme pourvu que soient connus les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10 (exclu). En effet, tout nombre x peut s'écrire sous la forme a.10^na est un nombre compris entre 1 et 10 (exclu). Cette écriture s'appelle la notation scientifique de x. 10^n représente alors l'ordre de grandeur du nombre x. Par exemple

120 = 1{,}2.10^2 et 0{,}00314 = 3{,}14.10^{-3}.

Le passage au logarithme décimal va alors mettre en évidence les deux éléments de l'écriture scientifique du nombre

log(120) = log(1,2) + log(10^2) = log(1,2) + 2
log(0,00314) = log(3,14) + log(10^{-3}) = log(3,14) - 3
log(x) = log(a.10^n) = n + log(a).

Puisque la fonction log est croissante, pour tout réel a compris entre 1 et 10 (exclu), log(a) est compris entre 0 et 1. L'entier relatif n est donc la partie entière de log(x) et log(a) la partie décimale à ajouter à n pour obtenir log(x).

La partie entière de log(x) est appelée la caractéristique du log.

La partie décimale à rajouter à la partie entière s'appelle la mantisse.

On fera attention à l'écriture du logarithme des nombres plus petits que 1

log(0,00314) = -3 + log(3,14) \approx -3 + 0,497
log(0,00314)\approx -2,503.

La deuxième écriture, qui semble plus naturelle, ne permet pas de retrouver rapidement la caractéristique (-3) et la mantisse (0,497). On préfère alors utiliser la première écriture que l'on note souvent

\log(0{,}0034) \approx \overline 3{,}497.

La lecture du logarithme d'un nombre permet alors aisément de déterminer son ordre de grandeur :

si log(x) = 5,3.

Sa caractéristique est 5 donc x est de la forme a.10^5. Sa mantisse est 0,3 qui est proche de log(2). donc x est proche de 2.10^5.

Usage[modifier | modifier le code]

Le développement des calculatrices de poche a fait perdre aux logarithmes leur principal intérêt de simplification des calculs. Ils restent cependant très présents en physique quand il s'agit d'appréhender des quantités pouvant varier de 10^{-10} à 10^{10}. C'est ainsi qu'on les retrouve dans le calcul des pH (potentiel hydrogène), des décibels, ...

Calculer avec une table de logarithmes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : table de logarithmes.

L'idée directrice est de remplacer, pour l'utilisateur, les multiplications par des additions, les divisions par des soustractions, les puissances par des produits, les racines nièmes par des divisions par n.

Exemple 1 : En supposant que x = 435,728 et y = 1,6275 comment effectuer, sans calculatrice, le produit xy ?

On calcule log(x)
x = 4{,}35728.10^2 donc la caractéristique est 2, la mantisse se lit dans une table de logarithme : 0,6392
log(x) = 2,6392
on calcule log(y) , caractéristique 0, mantisse 0,2115
log(y) = 0,2115.

Il suffit de calculer log(xy) = log(x) + log(y) = 2,8507, d'isoler la caractéristique : 2 et la mantisse 0,8507 qui par lecture inverse dans la table de log donne 7,091.

le produit xy est donc environ 7{,}091.10^2 = 709{,}1.

Exemple 2 : En prenant toujours ces deux nombres, on peut tout aussi facilement calculer une valeur approchée de la racine cubique de leur quotient

\log \left(\sqrt[3] \frac{x}{y} \right) = \frac 13 \Big(\log(x) - \log(y) \Big) = \frac{2{,}6392 - 0{,}2115}{3} = \frac{2{,}4277}{3} = 0{,}8092.

La caractéristique est donc nulle, la mantisse est 0,8092 qui, par lecture inverse, donne 6445.

\sqrt[3] \frac{x}{y} est donc environ égal à 6,445.

La règle à calcul[modifier | modifier le code]

Article détaillé : règle à calcul.

Le principe de la règle à calcul est analogue à celui précédemment décrit. La précision sera seulement moindre.

Sur la règle à calcul sont placés les logarithmes des nombres de 1 à 10.

Pour effectuer le produit de xy = 436 × 1,63, on effectue, grâce à la règle à calcul, le produit 4,36 × 1,63 en ajoutant les longueurs correspondant à log(4,36) et log(1,63), on obtient environ 7,1.

Le produit de xy est donc environ 7,1.10^2.

Les échelles logarithmiques[modifier | modifier le code]

Elles sont utilisées pour représenter des phénomènes pouvant varier par exemple de 10^{-10} à 10^{10}. Elles permettent d'amplifier les variations des valeurs proches de 0 et de rendre moins importantes les variations pour les grands nombres, en mettant en évidence plutôt les variations relatives.

L'utilisation des échelles logarithmiques est détaillée dans les articles Échelle logarithmique, Repère semi-logarithmique et Repère log-log.

Le pH[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Potentiel hydrogène.

Le pH d'une solution donne le cologarithme de sa concentration en ions oxonium : \mathrm{pH} = -\log \big[ \mathrm H_3 \mathrm O^+ \big].

Le pH de l'eau pure est de 7, ce qui signifie qu'il y a 10^{-7} mole de \mathrm H_3 \mathrm O^+ dans un litre d'eau.

Le pH du jus de citron est de 2,4, ce qui signifie qu'il y a 10^{-2,4} = 4 \cdot 10^{-3} mole de \mathrm H_3 \mathrm O^+ dans un litre de jus de citron.

On remarque qu'un pH faible correspond à une concentration élevée de \mathrm H_3 \mathrm O^+ donc à un milieu acide.

Les décibels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Bel.

En acoustique, une différence de un décibel ou un dB entre deux puissances signifie que le logarithme du rapport entre ces deux puissances est de 0,1 (un dixième de bel). Sachant qu'un logarithme de 0,1 correspond à un nombre égal à 1,26, une augmentation de 1 dB correspond à une multiplication de la puissance par 1,26. Une multiplication de la puissance sonore par 2 correspond à une augmentation de 3 dB car 10^{0,3} \approx 2.

Mathématiquement : soit β le niveau sonore : β = I(dB) = 10log(I/Ii) où I est l'intensité sonore et Ii l'intensité de référence.

La variation Δβ sera donc égale au logarithme décimal du rapport des intensités I1 et I2 (Δβ = 10log(I1/I2)), et ceci grâce à la propriété des logarithmes décimaux : log(a)-log(b) = log(a/b).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ISO 80000-2:2009. Organisation internationale de normalisation. Consulté le 19 janvier 2012.

Articles connexes[modifier | modifier le code]