Liste de critères de divisibilité

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Ceci est une liste de critères de divisibilité des nombres écrits en base décimale, exposés sans démonstration.

Pour les démonstrations ou les méthodes ayant permis d'établir ces critères, voir l'article Critère de divisibilité.

Dans tout cet article, un nombre de n chiffres est représenté par \overline{a_{n-1}...a_1 a_0}.

 \qquad a_0 étant le chiffre des unités.

 \qquad a_1 étant le chiffre des dizaines.

 \qquad a_2 étant le chiffre des centaines.

Et ainsi de suite.

Sommaire

Entiers inférieurs à 10[modifier | modifier le code]

Divisibilité par : Énoncé du critère : Exemple :
1 Tout nombre entier est divisible par 1 * 1, 2, 3, 4 sont divisibles par 1.
2 Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8. * 15679205738 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est un nombre pair ;
  • 450874265809864357898764346892 est divisible par 2 car il se termine par 2.
3 Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. 35796825 est divisible par 3 car :
  • 3 + 5 + 7 + 9 + 6 + 8 + 2 + 5 = 45
    et nous voyons que 45 est divisible par 3.

On a même 4 + 5 = 9 (divisible par 3).

4 Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. * 356812970332548 est divisible par 4 car il se termine par 48 et nous voyons que 48 est divisible par 4.
5 Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5. * 1296837402275 est divisible par 5 car il se termine par 5.
6 * Un nombre est divisible par 6 si et seulement s'il est divisible à la fois par 2 et par 3. * 24186 est divisible par 6, car :
  • Son chiffre des unités est 6 (chiffre pair) ;
    Et la somme de ses chiffres vaut 21=3x7.
7 * Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 7 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } - 2a_0 est divisible par 7. Plus simplement un nombre est divisible par 7 si la différence entre le nombre de dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7. * 182 est divisible par 7 car :
  • 18 – (2 × 2) = 14
    et 14 est divisible par 7.
  • 17381 est divisible par 7 car:
    1738 – (2 × 1) = 1736
    173 – (2 × 6) = 161
    16 – (2 × 1) = 14
* Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 7, alors le nombre considéré est divisible par 7. Bien sûr pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 7, on peut utiliser le lemme de divisibilité par 7. *5527579818992.
  • On le sépare par tranche de trois chiffres à partir des unités.


5 | 527 | 579 | 818 | 992.

  • On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.


5 - 527 + 579 - 818 + 992.

  • On effectue l'opération ainsi écrite.


5 - 527 + 579 - 818 + 992 = 231

  • On regarde si 231 est divisible à l'aide du lemme de divisibilité par 7.


23 - (2×1) = 21

  • On trouve un résultat divisible par 7 donc 5527579818992 est divisible par 7.
Méthode de Toja - Découper le nombre par tranches de 2 chiffres et chercher la distance entre chaque nombre de 2 chiffres et le multiple de 7 le plus proche (alternativement par excès et par défaut). Cette méthode ne nécessite pas d'effectuer la division complète mais nécessite de connaître sa table de multiplication par 7 jusqu'à 14.

Méthode de Chellali :

Écrivons a=...aka(k-1)...a1a0 l'écriture décimale de a. Posons A=a0-a3+a6-a9 ... B=a1-a4 +a7-a10 ..., C=a2-a5+ a8-a11 ... alors 7|a ssi 7|(A +3B+ 2C). De même 13|a ssi 13|(A-3B-4C).

* 5527579818992.
  • On le sépare par tranches de deux chiffres à partir des unités.
5|52|75|79|81|89|92.
    • À partir de la droite, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 91 : distance 92-91=1.
    • Pour la deuxième paire, le multiple de 7 le plus proche par excès est 91 : distance 91-89=2.
    • Pour la troisième paire, le multiple de 7 le plus proche par défaut est 77 : distance 81-77=4
    • Pour la quatrième paire, distance : 84-79=5
    • etc...
    Le nombre de départ est multiple de 7 si et seulement si
1|2|4|5|5|4|5

est multiple de 7 (les différents "restes" sont écrits dans l'ordre inverse)

  • On découpe ce nombre en tranche de 2 chiffres
1|24|55|45
  • Il est multiple de 7 si et seulement si
3|1|3|6

est multiple de 7

  • On découpe en tranche de 2 chiffres
31|36
  • Qui sera multiple de 7 si et seulement si
1|4
  • est multiple de 7 (vrai).

Source : (en) divisibilité par 7

8 Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8. 100636136 est divisible par 8 car 136 est divisible par 8.
9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. 423 est divisible par 9 car
4 + 2 + 3 = 9
et 9 est divisible par 9.
10 Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. 1275689573270 est divisible par 10 car il se termine par 0.

Critère de divisibilité par 2^n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 2^n si les n derniers chiffres de celui-ci forment un nombre divisible par 2^n.

Exemple[modifier | modifier le code]

125895111680 est divisible par 2^5 = 32 car 11680 est divisible par 32.


Critère de divisibilité par 5^n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 5^n si les n derniers chiffres de celui-ci forment un nombre divisible par 5^n.

Exemple[modifier | modifier le code]

57 962 895 185 796 257 543 625 est divisible par 5^3 = 125 car 625 est divisible par 125.

Critère de divisibilité par 10^n[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 10^n si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.

Exemple[modifier | modifier le code]

154652500000 est divisible par 10^5 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.

Critère de divisibilité par 11[modifier | modifier le code]

Première méthode[modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

  • on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
  • on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le nombre 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6
B = 9 + 8 = 17
B – A = 17 – 6 = 11

Nous trouvons un résultat divisible par 11, donc 19 382 est divisible par 11.

On peut également effectuer le calcul

1 - 9 + 3 - 8 + 2= - 11

Deuxième méthode[modifier | modifier le code]

On sépare le nombre par tranches de deux chiffres à partir des unités en intercalant des + et on effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 11 alors le nombre de départ est divisible par 11.

Exemple[modifier | modifier le code]

Reprenons l'exemple précédent 19382, on obtient :

1 + 93 + 82 = 176

Comme le résultat a plus de deux chiffres, on recommence :

1 + 76 = 77

77 est divisible par 11 donc 19 382 est divisible par 11 d'après la propriété.

« Mini-critère »[modifier | modifier le code]

Si un nombre de trois chiffres a la somme des deux chiffres extrêmes égale à son chiffre du milieu alors ce nombre est divisible par 11.

Exemples[modifier | modifier le code]

374 est divisible par 11 parce que 3 + 4 = 7 ; on obtient 374 = 11 × 34.

Attention, c'est un critère de divisibilité mais pas de non-divisibilité :

825 est divisible par 11 ; (825 = 11 × 75) ; même si 8 + 5 = 13.

Toutefois on pourra remarquer que 8 + 5 est congru à 2[11].

Critère de divisibilité par 12[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 3085755924.

Il satisfait au critère de divisibilité par 3 car 3 + 0 + 8 + 5 + 7 + 5 + 5 + 9 + 2 + 4 = 48 qui est divisible par 3.

Il satisfait au critère de divisibilité par 4 car il se termine par 24 qui est divisible par 4.

Par conséquent 3085755924 est divisible par 12.

Critère de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 13[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 13 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } + 4a_0 est divisible par 13.

Exemples[modifier | modifier le code]

637 est divisible par 13 car

63 + 4 × 7 = 91
et 91 est divisible par 13.

D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus jusqu'à obtenir comme résultat final 13, 26 ou 39. Ce qui prouvera que le nombre considéré au départ est divisible par 13.

Soit le nombre 224185. On a :

22418 + (4 × 5) = 22438
2243 + (4 × 8) = 2275
227 + (4 × 5) = 247
24 + (4 × 7) = 52
5 + (4 × 2) = 13

Nous obtenons 13 donc 224185 est divisible par 13.

Autre méthode :

Posons A=a0-a3+a6-a9 ... B=a1-a4+a7-a10 ..., C=a2-a5+a8-a11 ... alors 13|a ssi 13|(A-3B-4C).

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un grand nombre de chiffres est divisible par 13.

Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 3 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.

On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 13, alors le grand nombre considéré est divisible par 13.

Bien sûr pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 13, on peut utiliser le lemme de divisibilité par 13.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 1633123612311854.

On le sépare par tranche de trois à partir des unités.

1 | 633 | 123 | 612 | 311 | 854.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854.

On effectue l'opération ainsi écrite.

1 - 633 + 123 - 612 + 311 - 854 = -1664

Le résultat est négatif, mais on peut prendre sa valeur absolue 1664 et continuer.

On regarde si 1664 est divisible par 13 à l'aide du lemme de divisibilité par 13.

166 + (4×4) = 182
18 + (4×2) = 26

26 est divisible par 13 donc 1633123612311854 est divisible par 13.

Critère de divisibilité par 14[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 14 s’il est à la fois divisible par 7 et par 2.

Critère de divisibilité par 15[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 15 s'il est à la fois divisible par 3 et par 5

Critère de divisibilité par 16[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 16 si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.

Exemple[modifier | modifier le code]

2007557744 est divisible par 16 car 7744 est divisible par 16.

Critère de divisibilité par 17[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 17[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 17 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } - 5a_0 est divisible par 17.

Il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le résultat final est un multiple de 17.

Soit le nombre 3723. On a
372 – 5 × 3 = 357
35 – 5 × 7 = 0

Nous trouvons un résultat divisible par 17 donc 3723 est divisible par 17.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Supposons que l'on veuille savoir si un nombre contenant un très grand nombre de chiffres est divisible par 17.

Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 8 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.

On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 17, alors le grand nombre considéré est divisible par 17.

Bien sur pour voir si le résultat de l'opération précédente est divisible par 17, on peut utiliser le début de ce paragraphe.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 416521368699986479153682401.

On le sépare par tranche de 8 à partir des unités.

416 | 52136869 | 99864791 | 53682401.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

416 - 52136869 + 99864791 - 53682401.

On effectue l'opération ainsi écrite.

416 - 52136869 + 99864791 - 53682401 = -5954063

Le résultat étant négatif, on prend la valeur absolue 5954063

On regarde si 5954063 est divisible par 17 à l'aide du lemme de divisibilité par 17.

595406 - 5×3 = 595391
59539 - 5×1 = 59534
5953 - 5×4 = 5933
593 - 5×3 = 578
57 - 5×8 = 17

Nous obtenons un résultat divisible par 17 donc 416521368699986479153682401 est divisible par 17.

Critère de divisibilité par 18[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 18 s’il est divisible à la fois par 9 et par 2.

Critère de divisibilité par 19[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 19[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 19 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } + 2a_0 est divisible par 19.

Exemples[modifier | modifier le code]

247 est divisible par 19 car

24 + 2 × 7 = 38
et 38 est divisible par 19.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 19, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 9 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 19, alors le nombre considéré est divisible par 19.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 48822138835949515214962479.

On le sépare par tranche de neuf chiffres à partir des unités.

48822138 | 835949515 | 214962479.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

48822138 - 835949515 + 214962479

On effectue l'opération ainsi écrite.

48822138 - 835949515 + 214962479 = -572164898

Le résultat n'ayant que 9 chiffres, on vérifie aisément à l'aide d'une calculatrice que 572164898 est divisible par 19 (alors que ce n'était pas possible au départ avec le nombre de 26 chiffres sur la plupart des calculatrices) donc 48822138835949515214962479 est divisible par 19.

Critère de divisibilité par 20[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 20 si le chiffre des unités est 0 et si le chiffre des dizaines est pair.

Critère de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 21 s'il est à la fois divisible par 7 et par 3

Lemme de divisibilité par 21[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 21 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } - 2a_0 est divisible par 21.

Exemples[modifier | modifier le code]

567 est divisible par 21 car
56 – 2 × 7 = 42
et 42 est divisible par 21.

Plus généralement pour voir si un nombre est divisible par 21 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 21.

Soit le nombre 5289417.

On a :

528941 - 2×7 = 528927.
52892 - 2×7 = 52878.
5287 - 2×8 = 5271.
527 - 2×1 = 525.
52 - 2×5 = 42.
4 - 2×2 = 0.

Nous trouvons 0, donc 5289417 est divisible par 21.

Critère de divisibilité par 22[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 22 s'il est à la fois divisible par 11 et par 2

Critère de divisibilité par 23[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 23[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 23 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } + 7a_0 est divisible par 23.

Exemple[modifier | modifier le code]

3151 est divisible par 23 si 315 + 7 × 1 = 322 est divisible par 23.

322 est divisible par 23 si 32 + 7 × 2 = 46, ce qui est le cas (2 × 23).

Donc, 3151 est un multiple de 23.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 23, il suffit de séparer ce nombre par tranche de 11 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 23, alors le nombre considéré est divisible par 23.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 5420689351066034652617594500202.

On le sépare par tranche de onze chiffres à partir des unités.

542068935 | 10660346526 | 17594500202.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

542068935 - 10660346526 + 17594500202

On effectue l'opération ainsi écrite.

542068935 - 10660346526 + 17594500202 = 7476222611

On regarde si 7476222611 est divisible par 23 à l'aide du lemme de divisibilité par 23.

747622261 + 7×1 = 747622268
74762226 + 7×8 = 74762282
7476228 + 7×2 = 7476242
747624 + 7×2 = 747638
74763 + 7×8 = 74819
7481 + 7×9 = 7544
754 + 7×4 = 782
78 + 7×2 = 92
9 + 7×2 = 23

Donc 5420689351066034652617594500202 est divisible par 23.

Critère de divisibilité par 24[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 24 s'il est à la fois divisible par 8 et par 3.

Critère de divisibilité par 25[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 25 si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75, c'est-à-dire si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25.

Exemple[modifier | modifier le code]

1759568258975 est divisible par 25 car il se termine par 75.

Critère de divisibilité par 26[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 26 s'il est à la fois divisible par 13 et par 2

Critère de divisibilité par 27[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 27, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 27, alors le nombre est divisible par 27.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 68748098828632988661.

On effectue l'opération

68 + 748 + 098 + 828 + 632 + 988 + 661 = 4023.

Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois

4 + 023 = 27.

Nous trouvons un résultat divisible par 27, donc 68748098828632988661 est divisible par 27.

Critère de divisibilité par 28[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 28 s'il est à la fois divisible par 7 et par 4.

Critère de divisibilité par 29[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 29[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 29 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } + 3a_0 est divisible par 29.

Exemples[modifier | modifier le code]

87 est divisible par 29 car

8 + 3 × 7 = 29
et 29 est divisible par 29.

Pour voir si un nombre est divisible par 29 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 29, ce qui montrera que le nombre est divisible par 29.

Soit le nombre 751593.

On a :

75159 + 3×3 = 75168.
7516 + 3×8 = 7540.
754 + 3×0 = 754.
75 + 3×4 = 87.
8 + 3×7 = 29.

Nous trouvons 29, donc 751593 est divisible par 29.

Critère de divisibilité par 30[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 30 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 et s'il se termine par 0.

Exemple[modifier | modifier le code]

96442710 est divisible par 30 car il se termine par 0 et 9 + 6 + 4 + 4 + 2 + 7 + 1 + 0 = 33 qui est divisible par 3.

Critère de divisibilité par 31[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 31[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 31 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } - 3a_0 est divisible par 31.

Exemples[modifier | modifier le code]

1054 est divisible par 31 car

105 – 3 × 4 = 93
et 93 est divisible par 31.

Pour voir si un nombre est divisible par 31 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 31.

Soit le nombre 16022567.

On a :

1602256 - 3×7 = 1602235.
160223 - 3×5 = 160208.
16020 - 3×8 = 15996.
1599 - 3×6 = 1581.
158 - 3×1 = 155.
15 - 3×5 = 0.

Nous trouvons 0, donc 16022567 est divisible par 31.

Critère de divisibilité par 32[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 32 si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32.

Exemple[modifier | modifier le code]

68002175356285458568922152187753216864 est divisible par 32 car 16864 est divisible par 32.

Critère de divisibilité par 33[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 33 s’il est divisible à la fois par 11 et par 3.

Critère de divisibilité par 34[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 34 s’il est divisible à la fois par 17 et par 2.

Critère de divisibilité par 35[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 35 s’il est divisible à la fois par 7 et par 5.

Critère de divisibilité par 36[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 36 s’il est divisible à la fois par 9 et par 4.

Critère de divisibilité par 37[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 37, on le sépare par groupe de 3 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 37, alors le nombre est divisible par 37.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 19375414619668141953881.

On effectue l'opération :

19 + 375 + 414 + 619 + 668 + 141 + 953 + 881 = 4070

Le résultat ayant plus de 3 chiffres, on peut recommencer une fois

4 + 070 = 74

74 est divisible par 37 donc 19375414619668141953881 est divisible par 37.

Critère de divisibilité par 38[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 38 s’il est divisible à la fois par 19 et par 2.

Critère de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Critère immédiat[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 39 s’il est divisible à la fois par 13 et par 3.

Lemme de divisibilité par 39[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 39 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } + 4a_0 est divisible par 39.

Exemples[modifier | modifier le code]

702 est divisible par 39 car

70 + 4 × 2 = 78
et 78 est divisible par 39.

Plus généralement, pour voir si un nombre est divisible par 39 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 39, ce qui montrera que le nombre est divisible par 39.

Soit le nombre 49803.

On a :

4980 + (4×3) = 4992.
499 + (4×2) = 507.
50 + (4×7) = 78.
7 + (4×8) = 39.

Nous trouvons 39, donc 49803 est divisible par 39.

Critère de divisibilité par 40[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 40 s’il est divisible à la fois par 8 et par 5.

Critère de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Lemme de divisibilité par 41[modifier | modifier le code]

Le nombre \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} est divisible par 41 si et seulement si \overline{a_n a_{n-1}...a_1 } - 4a_0 est divisible par 41.

Exemples[modifier | modifier le code]

1066 est divisible par 41 car

106 – (4 × 6) = 82
et 82 est divisible par 41.

Pour voir si un nombre est divisible par 41 il suffit de répéter l'opération jusqu'à obtenir 0, ce qui montrera que le nombre est divisible par 41.

Considérons le nombre 89011.

On a :

8901 – (4 × 1) = 8897
889 – (4 × 7) = 861
86 – (4 × 1) = 82
8 – (4 × 2) = 0

Nous obtenons 0 donc 89011 est divisible par 41.

Critère pour un grand nombre[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 41, on le sépare par groupe de 5 chiffres à partir des unités en intercalant des +. On effectue l'opération obtenue. Si le résultat est divisible par 41, alors le nombre est divisible par 41

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 2136561442277796449261.

On effectue l'opération :

21 + 36561 + 44227 + 77964 + 49261 = 208034

Le résultat ayant plus de 5 chiffres, on peut recommencer une fois

2 + 08034 = 8036

On peut vérifie que 8036 est divisible par 41 en utilisant le lemme de divisibilité par 41.

On a

803 – 4 × 6 = 779
77 – 4 × 9 = 41
4 – 4 × 1 = 0

Nous trouvons 0 donc 2136561442277796449261 est divisible par 41.

Critère de divisibilité par 42[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 42 s’il est divisible à la fois par 7 et par 3 et par 2.

Critère de divisibilité par 44[modifier | modifier le code]

Un nombre est divisible par 44 s’il est divisible à la fois par 11 et par 4.

Critère de divisibilité par 73[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 73, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -.

On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 73, alors le nombre considéré est divisible par 73.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 410690207551027101452.

On le sépare par tranche de quatre chiffres à partir des unités.

4 | 1069 | 0207 | 5510 | 2710 | 1452.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452

On effectue l'opération ainsi écrite.

4 - 1069 + 0207 - 5510 + 2710 - 1452 = 5110

On vérifie aisément que 5110 est divisible par 73 donc 410690207551027101452 est divisible par 73.

Critère de divisibilité par 101[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 101, Il suffit de séparer ce nombre par tranches de 2 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 101, alors le nombre considéré est divisible par 101.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 5517208188911037227.

On le sépare par tranches de 2 chiffres à partir des unités.

5 | 51 | 72 | 08 | 18 | 89 | 11 | 03 | 72 | 27.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27.

On effectue l'opération ainsi écrite.

5 - 51 + 72 - 08 + 18 - 89 + 11 - 03 + 72 - 27 = 0.

0 est divisible par 101 donc 5517208188911037227 est divisible par 101.

On trouvera souvent 0 comme résultat de ce calcul si le nombre de départ est divisible par 101 car on soustrait et on additionne alternativement des nombres de deux chiffres et on a, par conséquent, une probabilité assez faible de tomber sur un multiple de 101 autre que 0.

Critère de divisibilité par 137[modifier | modifier le code]

Pour savoir si un nombre est divisible par 137, Il suffit de séparer ce nombre par tranche de 4 chiffres en partant des unités et d'insérer alternativement des - et des + entre les tranches à partir du début du nombre en commençant par un -. On effectue l'opération ainsi écrite et si le résultat est divisible par 137, alors le nombre considéré est divisible par 137.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit le nombre 2510792736157732104.

On le sépare par tranche de quatre chiffres à partir des unités.

251 | 0792 | 7361 | 5773 | 2104.

On intercale alternativement des + et des - à partir du début en commençant par un -.

251 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104

On effectue l'opération ainsi écrite.

251 - 0792 + 7361 - 5773 + 2104 = 3151

On vérifie aisément que 3151 est divisible par 137 donc 2510792736157732104 est divisible par 137.

Voir aussi[modifier | modifier le code]