Limite de Betz

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Traversée d'un capteur de surface S par un fluide.

La limite de Betz est une loi physique qui indique que la puissance théorique maximale développée par un capteur éolien est égale à 16/27 de la puissance incidente du vent qui traverse l'éolienne.

Historique et énoncé[modifier | modifier le code]

Ce résultat fut découvert par l'allemand Albert Betz en 1919 et fut publié dans son livre Wind Energie en 1926. Cette loi s'applique à tous types d'éoliennes à pales, que l'on désigne par le nom générique de capteur éolien.

Betz calcule que :

  • la puissance théorique maximale récupérable par un capteur éolien est égale à 16/27 de la puissance incidente du vent qui traverse l'éolienne ;
  • cette limite sera atteinte lorsque la vitesse du vent sera divisée par trois entre l'amont et l'aval de l'éolienne.

La puissance incidente du vent est cinétique et dépend de la surface que le capteur éolien propose au vent, de la vitesse du vent et de la masse volumique de l'air. On peut regrouper ces résultats selon ces formules :

 P_{extraite}^{max}=\frac{16}{27}.P_{incidente} avec  P_{incidente} = P_{cinetique} = \frac{1}{2}.\rho.S.v_{amont}^3 \,
lorsque  v_{aval} = \frac{1}{3}  v_{amont}
\rho : masse volumique du fluide (1,20 kg/m³ pour l'air à 20°C)
S : surface du capteur éolien en m²
v_{amont} : vitesse incidente (amont) du fluide en m/s

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cette démonstration repose sur les équations fondamentales de la mécanique des fluides (théorème de Bernoulli, théorème d'Euler).

Modélisation[modifier | modifier le code]

- écoulement monodimensionnel par section, stationnaire d'un fluide parfait homogène
- on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen

Notation[modifier | modifier le code]

\rho : masse volumique du fluide
g : accélération de la pesanteur
S : surface du capteur éolien
pour toutes les variables suivantes, l'indice _1 correspond à l'entrée du capteur et l'indice _2 correspond à la sortie
s : section occupée par le flux d'air capté (variable, voir plus bas)
p : pression
v : vitesse de l'air
Dm : débit massique d'air, Dm=\rho s v
F : force exercée par l'air sur le capteur
P : puissance développée par la force exercée.

Calculs[modifier | modifier le code]

Dans le cas examiné le débit massique est constant : Dm=\rho s v=cste[1].

Considérons quatre points sur une même ligne de courant : un point en amont (sur s_1), un point "juste avant" le capteur proprement dit, un autre "juste après", et un dernier en aval (sur s_2) :

Aux deux points loin du capteur, sur s_1 et s_2, la pression est égale à la pression atmosphérique p_0

Aux deux points proches du capteur, la section est égale à la surface S, comme le débit massique est constant la vitesse du vent est la même en ces deux points : v. En revanche il y a une discontinuité de pression entre ces deux points.

L'écoulement est supposé parfait et stationnaire, et le fluide est supposé incompressible (masse volumique constante) ; l'effet du champ de pesanteur est nul (l'air capté flotte dans l'air "autour", la poussée d'Archimède équilibre exactement le poids de l'air, dont l'éventuel travail - même en supposant une variation d'altitude - est ainsi annulé). On applique le théorème de Bernoulli deux fois, d'une part entre l'amont et le point juste avant, d'autre part le point juste après et l'aval ; on a donc :

(1) :   \frac {p_{0}}{\rho}+\frac {v_{1}^2}{2}=\frac {p_1}{\rho}+\frac {v^2}{2}

et

(2) :   \frac {p_{0}}{\rho}+\frac {v_{2}^2}{2}=\frac {p_2}{\rho}+\frac {v^2}{2}

La soustraction (1) - (2) donne

(3) : p_1 - p_2 = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2)

La force exercée par le vent sur le capteur est

(4) :  F = (p_1 - p_2).S = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2).S = \rho.S.\frac {(v_{1}+ v_{2})}{2}(v_{1}- v_{2})

Mais cette force peut aussi s'exprimer par application de la loi de Newton :

(5) :  \begin{align} F
& = m \cdot a \\
& = m \cdot \tfrac {dv} {dt} \\
& = Dm \cdot \Delta v \\
& = \rho \cdot S \cdot v \cdot \left ( v_1 - v_2 \right ) \\
\end{align}

L'égalité des deux expressions (4) et (5) implique que v = \frac {(v_{1}+ v_{2})}{2} et la puissance développée par cette force est

(6) :  P = F.v = \frac {\rho}{2}(v_{1}^2 - v_{2}^2).S.v  ;

Si on exprime cette puissance en fonction de x=\frac {v_{2}}{v_{1}}, du rendement r, et de P_0 la puissance incidente du vent non perturbé :

P_{0}=\frac{1}{2} \rho S v_{1}^3

on obtient

v = v_1\frac{1+x}{2}

et

r=\frac {P}{P_{0}}=\frac{1}{2}(1-x^2)(1+x)

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x :

Ratio.gif

Le maximum[2] est atteint pour x=1/3, et alors r=16/27. D'où la limite de Betz :

P_{extraite}^{max} \,\, = \,\, \frac {16}{27} \, P_{incidente}


Limite théorique et implications pratiques de la formule[modifier | modifier le code]

  • le calcul suppose qu'on néglige l'énergie thermique contenue dans le fluide, et que la masse volumique de ce fluide reste constante. Or l'extraction d'énergie cinétique aura des effets thermiques sur le fluide, qui peut à son tour faire évoluer la masse volumique (condensation de vapeur d'eau par exemple). Ce phénomène est d'importance faible pour l'air, il peut être non négligeable dans d'autre cas. La limite de Betz s'applique à tout type d'éolienne, mais elle ne s'applique pas à une turbine à vapeur par exemple.
  • le calcul fait un certain nombre d'hypothèses qui font de cette limite un majorant, et non un maximum atteignable ; des calculs modernes plus élaborés[3],[4] montrent que le maximum réel est plus faible.
  • à la limite de Betz, le vent voit sa vitesse divisée par trois ; pour maintenir le même débit, la surface de sortie doit donc être multipliée par trois.
  • on voit que la courbe du rendement est assez plate, ce qui signifie que le rendement reste assez bon même quand on s'éloigne significativement de l'optimum.

Interprétation physique[modifier | modifier le code]

L'existence de la limite de Betz traduit la compétition entre deux phénomènes opposés :

  • Une éolienne récupère d'autant plus d'énergie qu'elle freine plus le vent (ce qui est traduit par le terme (v_{1}^2-v_{2}^2) de la formule de puissance) ...
  • ... mais elle en récupère d'autant moins que le débit est plus faible, or le ralentissement réduit le débit (ce qui est traduit par le terme (v_{1}+v_{2}) de la formule de puissance)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. remarque : Le capteur éolien capte l'énergie cinétique du vent, cela réduit la v vitesse du vent et donc parallèlement s augmente de la même proportion, d'où la figure ci-dessous représentant le tube de courant (bleu) dans lequel est plongé le capteur éolien.
  2. Pour rechercher le maximum d'une fonction, on recherche les points où sa dérivée s'annule
  3. Gorban' A.N., Gorlov A.M., Silantyev V.M., Limits of the Turbine Efficiency for Free Fluid Flow, Journal of Energy Resources Technology - December 2001 - Volume 123, Issue 4, pp. 311-317.
  4. Hartwanger, D., Horvat, A., 3D Modelling of A Wind Turbine Using CFD, NAFEMS UK Conference 2008 "Engineering Simulation: Effective Use and Best Practice", Cheltenham, UK, June 10–11, 2008, Proceedings.

Voir aussi[modifier | modifier le code]