Libre parcours moyen

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En physique, le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par une particule se déplaçant (telle qu'un atome, une molécule, un photon) entre deux impacts successifs (collisions) [1] modifiant sa direction, son énergie ou d'autres propriétés.

Origine[modifier | modifier le code]

Figure 1: Tranche de cible

On considère un faisceau de particules projetées vers une cible, ainsi qu'une tranche infinitésimale de cette cible (Figure 1). Les atomes (ou autres particules) susceptibles d'arrêter des particules du faisceau sont en rouge. La grandeur du libre parcours moyen dépend des caractéristiques du système auquel la particule appartient :

\ell = \frac{1}{\sigma n},

\ell est le libre parcours moyen, n la quantité de particules-cible par unité de volume, et \sigma la section efficace de collision.

L'aire d'une tranche est L^{2} et son volume est L^{2}dx. La quantité de particules incidentes contenues dans cette tranche est le produit de la concentration n par le volume, c'est-à-dire, n L^{2}dx.

La probabilité P(x)dx qu'une particule incidente soit arrêtée par cette tranche est l'aire totale recouverte par les atomes cibles, divisée par l'aire totale de la tranche.


P(x)\mathrm{d}x = 
\frac{\mathrm{Aire_{atomes}}}{\mathrm{Aire_{tranche}}} = 
\frac{\sigma n L^{2}\, \mathrm{d}x}{L^{2}} = n \sigma\, \mathrm{d}x

\sigma est l'aire, où plus formellement, la section efficace d'un atome.

La diminution d'intensité du faisceau passant à travers une tranche est égale à l'intensité du faisceau incident multipliée par la probabilité de collision.


dI = -I n \sigma dx

C'est une équation différentielle linéaire :


\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  -\frac{I}{\ell}

dont la solution est connue sous le nom de Loi de Beer-Lambert et a pour forme I = I_{0} e^{-x/\ell}, où x est la distance parcourue par le faisceau à travers la cible et I0 est l'intensité du faisceau avant d'avoir pénétré la cible; l est appelé "libre parcours moyen" parce qu'il est égal à la distance moyenne parcourue par une particule du faisceau avant d'être arrêtée. On peut le comprendre en remarquant que la probabilité qu'une particule soit absorbée entre x et x + dx est donnée par :

dP(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.

Ainsi la valeur moyenne attendue pour x est :


\langle x \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int_0^\infty x dP(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\ell} e^{-x/\ell} dx = \ell

La fraction des particules n'étant pas stoppées par la tranche est appelée la transmittance T = \frac{I}{I_{0}} = e^{-x/\ell}x est l'épaisseur traversée.

Libre parcours moyen en théorie cinétique des gaz[modifier | modifier le code]

En théorie cinétique des gaz le libre parcours moyen d'une particule, telle qu'une molécule, est la distance moyenne parcourue entre deux collisions successives avec d'autres particules en mouvement. La formule \ell = \frac{1}{n\sigma} est toujours valable pour une particule ayant une vitesse relative élevée parmi un ensemble de particules identiques distribuées aléatoirement dans l'espace. Dans le cas où la distribution des vitesses est conforme à la Loi de distribution des vitesses de Maxwell, le résultat suivant s'applique[2]

\ell = \frac{1}{\sqrt{2}\, n\sigma}.\,

et on peut montrer que le libre parcours moyen est également (en mètres)[3]

\ell = \frac{k_{\rm B}T}{\sqrt 2 \pi d^2 p}

kB est la constante de Boltzmann en J/K, T la température en K, p la pression en pascals, et d le diamètre des particules constituant le gaz (en mètres).

Le tableau suivant donne quelques valeurs typiques pour l'air à différentes pressions et à température ambiante.

Degré de vide Pression en hPa Molécules / cm³ Libre parcours moyen
Pression ambiante 1013 2.7*1019.. 68 nm
Vide relatif 300..1 1019..1016 0.1..100 µm
Vide 1..10-3 1016..1013 0.1..100 mm
Vide poussé 10-3..10-7 1013..109 10 cm..1 km
Vide très poussé 10-7..10-12 109..104 1 km..105 km
Vide extrême <10-12 <104 >105 km

Libre parcours moyen en radiographie[modifier | modifier le code]

Libre parcours moyen pour des photons de 1 keV à 20 MeV et des éléments de numéro atomique Z = 1 à 100. Basé sur des données tirées de[4]. Les discontinuités sont duent à la faible densité des éléments gazeux. Six bandes correspondent aux voisinages de 6 gaz nobles.

En radiographie par rayons gamma, le libre parcours moyen d'un faisceau de photons monochromatiques est la distance moyenne qu'un photon parcourt avant d'entrer en collision avec des atomes du matériau cible. Il dépend de la nature dudit matériau et de l'énergie des photons selon

\ell = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{(\mu/\rho) \rho},

\mu est le coefficient d'absorption, \mu / \rho est le coefficient d'absorption massique et \rho la masse volumique du matériau. Le coefficient d'absorption massique peut être récupéré ou calculé pour un certain matériau et une énergie donnée à partir des bases de données du NIST [5] [6]

En radiographie par rayons X le calcul du libre parcours moyen est plus complexe, car les photons n'ont pas une seule et même énergie et forment en fait un spectre. Alors que les photons se déplacent à travers le matériau cible, ils sont atténués avec des probabilités dépendant de leur énergie, modifiant ainsi leur spectre. A cause de cela, le libre parcours moyen d'un spectre X-ray dépend de la longueur de matériau traversée.

L'épaisseur d'un matériau est parfois mesurée en nombre de libre parcours moyen \ell. Les matériaux avec une épaisseur d'un \ell atténuent 1/e \simeq 37\ \% des photons. Ce concept est étroitement lié à la couche de demi-atténuation (CDA). Un matériau avec une CDA de 1 atténuera 50 % des photons.

Libre parcours moyen en physique des particules[modifier | modifier le code]

En physique des particules, le concept de libre parcours moyen n'est pas couramment utilisé. On privilégie le concept similaire de longueur d'atténuation, c'est-à-dire l'épaisseur d'un matériau pour laquelle 63 % du rayonnement incident est absorbé. En particulier, pour des photons de haute énergie, qui interagissent principalement par production de paires électron-positron, on parle plutôt de Longueur de radiation, qui ressemble beaucoup au libre parcours moyen en radiographie.

Libre parcours moyen en optique[modifier | modifier le code]

Si l'on considère un gaz de particules n'absorbant pas la lumière de diamètre d et de fraction volumique \Phi, le libre parcours moyen[7] des photons est donné par :

\ell=\frac{2d}{3\Phi Q_s},

Qs, le coefficient d'efficacité de diffusion, peut être évalué numériquement pour des particules sphériques à l'aide de la Théorie de Mie.

Libre parcours moyen en acoustique[modifier | modifier le code]

Dans une cavité vide de volume V et de surface intérieure S, le libre parcours moyen d'une particule rebondissant sur ses parois est :

\ell=\frac{4V}{S}

Exemples[modifier | modifier le code]

Une application classique du libre parcours moyen est l'estimation de la taille des atomes ou des molécules. Une autre application importante est une estimation de la résistivité d'une matériau à partir du libre parcours moyen de ses électrons.

Par exemple, pour des ondes sonores confinées, le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par une onde avant réflexion.

En aérodynamique, le libre parcours moyen est du même ordre de grandeur que l'épaisseur d'une onde de choc à des nombres de mach supérieurs à 1.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Author: Marion Brünglinghaus, ENS, European Nuclear Society, « Mean free path », Euronuclear.org (consulté le 8 novembre 2011)
  2. S. Chapman and T.G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases, 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-40844-X, p. 88
  3. « Mean Free Path, Molecular Collisions », Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu (consulté le 8 novembre 2011)
  4. « NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases », Physics.nist.gov,‎ 10 mars 1998 (consulté le 8 novembre 2011)
  5. J. H. Hubbell, « Tables of X-Ray Mass Attenuation Coefficients and Mass Energy-Absorption Coefficients », National Institute of Standards and Technology (consulté en septembre 2007)
  6. M. J. Berger, « XCOM: Photon Cross Sections Database », National Institute of Standards and Technology (NIST) (consulté en septembre 2007)
  7. O Mengual, G Meunier, I Cayré, K Puech et P Snabre, « TURBISCAN MA 2000: multiple light scattering measurement for concentrated emulsion and suspension instability analysis », Talanta, vol. 50, no 2,‎ 1999, p. 445–56 (PMID 18967735, DOI 10.1016/S0039-9140(99)00129-0)