Lemme de Zassenhaus

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Diagramme de Hasse du « papillon de Zassenhaus »
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème du papillon.

En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun[1].

Lemme — Soient G un groupe, A et C deux sous-groupes de G, B un sous-groupe normal de A, et D un sous-groupe normal de C. Alors B(A⋂D) est normal dans B(A⋂C), (B⋂C)D est normal dans (A⋂C)D, et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

(B~\triangleleft~A\le G\quad\text{et}\quad D~\triangleleft~C\le G)\quad\Rightarrow\quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq(A\cap C)D/(B\cap C)D.

Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.
  2. (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI:10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.