Lemme de Steinitz

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En mathématiques, le lemme de Steinitz est un lemme d'algèbre linéaire, utilisé principalement pour prouver que deux bases quelconques d'un espace vectoriel de dimension finie ont même nombre d'éléments. Ce résultat porte le nom du mathématicien allemand Ernst Steinitz.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si v1, ..., vm sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w1, ..., wn alors m ≤ n et, à permutation près des wk, l'ensemble {v1, ..., vm, wm + 1, ..., wn} engendre V.

Démonstration[modifier | modifier le code]

  • Puisque v1 appartient à V, il existe des scalaires λ1, ..., λn tels que
v_1=\sum_{k=1}^n\lambda_kw_k~.

Comme v1 est non nul (puisqu'il appartient à une famille libre), l'un au moins de ces scalaires est non nul. Quitte à réordonner les wk, on peut donc supposer que λ1 est non nul. L'équation se réécrit alors

w_1 = \lambda_1^{-1} v_1 - \sum_{k=2}^n\lambda_1^{-1} \lambda_k w_k~.

Ceci permet d'affirmer que l'ensemble {v1, w2, ..., wn} engendre encore V.

  • On recommence cette opération pour chaque vi (pour i de 1 à m). À l'étape i, le raisonnement est le suivant. Puisque (à ce stade) {v1, ..., vi - 1, wi, ..., wn} engendre V, il existe des scalaires μ1, ..., μn tels que
v_i=\sum_{k=1}^{i-1}\mu_kv_k+\sum_{k=i}^n\mu_kw_k~.

Comme vi n'est pas combinaison linéaire de v1, ..., vi - 1, l'un au moins des scalaires μi, ..., μn est non nul (ce qui prouve au passage que i ≤ n). Quitte à réordonner à nouveau les wk correspondants on peut alors supposer que μi est non nul, d'où l'on tire

w_i=\mu_i^{-1}v_i-\sum_{k=1}^{i-1}\mu_i^{-1}\mu_kv_k-\sum_{k=i+1}^n\mu_i^{-1}\mu_kw_k~,

si bien que {v1, ..., vi, wi + 1, , ..., wn} engendre encore V.

  • À la fin de la m-ième opération, on obtient le résultat annoncé.