Lemme de Grönwall

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En mathématiques, le lemme de Grönwall, ou aussi appelé inégalité de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall (en) qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.

Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

Si, pour t_0\leq t\leq t_1, \phi(t)\geq 0 et \psi(t)\geq 0 sont des fonctions continues qui vérifient :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s ,

K et L sont des constantes positives, alors :

\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

pour  t_0\leq t\leq t_1.

Le principe de démonstration est le suivant : il s'agit de voir qu'en t_0, on a égalité entre les deux majorants, puis, en dérivant le rapport

\frac{K+L\int_{t_0}^t\psi(s)\phi(s)\mathrm{d}s}{K\mathrm{exp}\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\mathrm{d}s\right)},

voir que ce rapport est décroissant, ce qui prouve le résultat.

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

Si l'équation différentielle suivante est vérifiée :

\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} (t) \leq L \psi(t) \phi (t),

alors on a l'inégalité :

\phi(t)\leq \phi(t_0)+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s ,

ce qui permet de conclure que

\phi(t)\leq \phi(t_0) \exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

pour  t_0 \leq t \leq t_1.

Forme discrète[modifier | modifier le code]

La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.

Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :

 \Delta t_n le pas de temps à chaque itération,
 e_n l'erreur totale (accumulée) à l'itération n,
 \varepsilon _n l'erreur supplémentaire apportée par l'itération n.

Considérons de plus le nombre réel positif  \lambda qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.

Finalement ajoutons pour simplifier l'écriture :

t_n le temps à l'itération n,

de sorte que  t_n=t_0+\sum_{i=0}^{n-1}\Delta t_i .

Si de plus les erreurs successives sont liées par la relation suivante :

\forall n \geq 0

e_{n+1}\leq(1+\lambda \Delta t_n)e_n+\varepsilon _n,

alors on a :

e_n \leq e^{(t_n - t_0)\lambda}e_0+\sum_{i=0}^{n-1}e^{\lambda(t_n-t_{i+1})}\varepsilon _i.

La démonstration se fait par récurrence en notant que 1+\mu\leq e^{\mu} pour tout \mu\geq0.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) J. A. Oguntuase, On an inequality of Gronwall, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 2, n° 1, 2001