Lemme de Goursat

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec le lemme de Goursat en analyse complexe

En algèbre, le lemme de Goursat est un théorème de la théorie des groupes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient G et G' deux groupes, H un sous-groupe de G×G' tel que les deux projections canoniques, p : HG et p' : HG', soient surjectives. Le noyau N de p' est un sous-groupe normal de G×{e'} (où e' désigne l'élément neutre de G') donc s'identifie à un sous-groupe normal de G ; le noyau N' de p s'identifie de même à un sous-groupe normal de G'. Avec ces identifications,

l'image de H dans G/N×G'/N' est le graphe d'un isomorphisme G/NG'/N'.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On vérifie d'abord que N, vu comme sous-groupe de G, est bien normal, comme image de ker(p') (normal dans H) par le morphisme surjectif p.

L'image de H dans G/N×G'/N' est l'ensemble

G'':=\{(gN,g'N')\mid(g,g')\in H\}.

Par surjectivité de p, tout élément de G/N est la première composante d'au moins un couple de G". Un tel couple est de plus unique car

\text{si }h_1=(g_1,g'_1),h_2=(g_2,g'_2)\in H\text{ et }g_1N=g_2N\text{ alors }h_1^{-1}h_2\in N'\text{ donc }g'_1N'=g'_2N'.

De même, tout élément de G'/N' est la seconde composante d'un unique couple de G".

D'après les tests des verticales et des horizontales, G" est donc le graphe d'une bijection de G/N dans G'/N'.

Par construction, cette bijection est un morphisme de groupes.

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Produit fibré