Lemme de Fatou

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été démontré par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme compare l'intégrale d'une limite inférieure de fonctions mesurables positives avec la limite inférieure de leurs intégrales.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de théorème de Fatou-Lebesgue.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (E,\mathcal A,\mu) un espace mesuré. Pour toute suite (f_n)_{n\in\N} de fonctions mesurables sur E à valeurs dans [0,+∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

\int\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n~\mathrm d\mu\le\liminf_{n\rightarrow\infty}\int f_n~\mathrm d\mu.

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

Exemple[modifier | modifier le code]

En appliquant le lemme de Fatou au cas où chaque fn est l'indicatrice d'une partie mesurable An de E, on obtient :


\mu(\liminf_n A_n) \le \liminf_n \mu(A_n),

où la limite inférieure de gauche est la limite inférieure de la suite d'ensembles.

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au lemme de Fatou. En effet, par croissance de la suite (\cap_{n \ge N} A_n)_N, on a

\mu \left( \cup_{N \in \N} \cap_{n \ge N} A_n \right) = \lim_N \mu \left( \cap_{n \ge N} A_n \right) \le \lim_N \inf_{n \ge N} \mu(A_n).

Démonstration[modifier | modifier le code]

Définissons la suite de fonctions (g_p)_{p\in\N} par :

\forall x\in E,\quad g_p(x)=\inf_{n \geq p}f_n(x)

Par construction, les fonctions g_p forment une suite croissante de fonctions mesurables positives et la limite simple de cette suite est égale à la limite inférieure des f_n. Le théorème de convergence monotone s'applique et donne :

\int\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int\lim_{p\rightarrow\infty}g_p~\mathrm d\mu=\lim_{p\rightarrow\infty}\int g_p~\mathrm d\mu.

Or g_p \le f_n pour tout n \ge p. Donc

\forall n\geq p,\quad\int g_p~\mathrm d\mu\le\int f_n~\mathrm d\mu

et par suite

\int g_p~\mathrm d\mu\le\inf_{n \geq p}\int f_n~\mathrm d\mu.

Par conséquent, en passant à la limite

 \lim_{p\rightarrow\infty}\int g_p~\mathrm d\mu\le\liminf_{n\rightarrow\infty}\int f_n~\mathrm d\mu.

L'exemple suivant montre que l'égalité n'est pas vérifiée en général. Considérons la suite (f_n)_n, sur E := [0,2] muni de la mesure de Lebesgue, telle que f_{2n}=1_{[0,1]} et f_{2n+1}=1_{]1,2]}. Alors g_p=0 pour tout p, donc \lim_p \int_{[0,2]} g_p~\mathrm dx=0, tandis que \int_{[0,2]} f_n~\mathrm dx= 1 pour tout n.

Liens externes[modifier | modifier le code]