Lemme d'Urysohn

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Le mathématicien Pavel Urysohn donne son nom au lemme de l'article.

Le lemme d'Urysohn est un résultat de topologie, qui établit que pour deux fermés disjoints F et G d'un espace normal X (ou plus généralement d'un espace T4), il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1] qui vaut 0 sur F et 1 sur G. On le considère parfois comme le « premier résultat non trivial sur les espaces topologiques ».[réf. souhaitée]

Ce lemme permit d'étendre aux espaces normaux le théorème de prolongement de Tietze, initialement démontré en 1914 par Heinrich Tietze pour les espaces métriques[1]. Pavel Urysohn trouve une nouvelle démonstration et énonce son lemme un peu plus tard, dans un texte mathématique dont l'objectif est la démonstration des théorèmes sur l'invariance de la dimension d'un espace topologique localement homéomorphe à un espace euclidien.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Il existe un premier énoncé spécifique aux espaces T4 (et dont la réciproque est immédiate) :

Lemme d'Urysohn — Si X est un espace T4 alors, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1], qui vaut 0 sur F et 1 sur G.

Un premier corollaire est que tout espace normal (i.e. T4 et séparé) est complètement régulier.

Un autre corollaire est le suivant[2] :

Ce lemme est aussi utilisé en géométrie différentielle sous la forme suivante[3] :

Approche qualitative[modifier | modifier le code]

Fragment d'histoire[modifier | modifier le code]

Une des grandes questions qui se posent au début du XXe siècle en topologie est la classification des différents espaces. Un invariant important pour ce classement est la dimension. Si un espace topologique connexe possède en tout point un ouvert, contenant ce point et homéomorphe à un ouvert d'un espace euclidien, tous les espaces euclidiens ont la même dimension et cette dimension est unique[4]. Si ce résultat est très intuitif : si un espace topologique est de même nature qu'une courbe, ce n'est alors pas un plan, la démonstration est difficile. Depuis Peano, la connaissance d'une fonction continue et surjective de R dans [0, 1]2 illustre un des écueils à éviter, pour trouver des démonstrations rigoureuses.

Heinrich Tietze travaille sur cette question et, dans ce contexte, montre en 1914 que si f est une application continue définie sur un fermé d'un espace métrique, elle est continument prolongeable sur l'espace entier[5]. Il trouve la définition d'espace normal en 1923[6]. Pavel Urysohn, un mathématicien russe, parvient à démontrer le théorème clé de la dimension qu'il publie[7] en 1924. Il retrouve des résultats déjà démontrés par Luitzen Brouwer en 1912, mais qu'Urysohn ne connaissait pas[8]. Cette publication contient le lemme de l'article.

On doit encore à Tietze aussi le théorème de prolongement, qui porte maintenant son nom et dont le lemme de l'article n'est qu'un cas particulier[8]. Jean Dieudonné développe l'usage du théorème en géométrie différentielle et développe simultanément et indépendamment avec Salomon Bochner la notion de partition de l'unité[9] en 1937. Il introduit aussi la définition d'espace paracompact[9] en 1944, elle remplace souvent celle d'espace normal, qui contient trop d'exceptions pathologiques pour être véritablement fertile en topologie algébrique[6].

Démonstration intuitive[modifier | modifier le code]

Urysohn-function02.jpg

Intuitivement, il n'est pas très difficile d'imaginer une démonstration, se fondant sur la notion d'oscillation d'une fonction. L'oscillation d'une fonction f, définie sur un espace topologique et à valeurs dans un espace métrique, en un point x, est la borne inférieure des diamètres des images des voisinages de x. Si l'oscillation est nulle, la fonction est continue.

On suppose que les deux fermés F et G sont illustrés en rouge et vert sur la figure de droite. On peut définir une fonction f1 qui vaut 0 sur F, 1 sur G et 1/2 partout ailleurs. Cette fonction est illustrée sur le graphique numéroté 1 (le jaune est la couleur « milieu » entre le rouge et le vert). L'axiome T4 montre qu'il existe un ouvert U11 contenant F et dont l'adhérence est strictement incluse dans le complémentaire de G, car le complémentaire de G est un ouvert contenant F. Il est alors possible de définir la fonction f2 comme valant 0 sur F, 1 sur G, 1/2 sur la frontière de U11, 1/4 sur le complémentaire de F dans U11 et 3/4 ailleurs. Cette fonction est représentée dans l'illustration numérotée 2. Cette fois-ci, l'oscillation de la fonction ne dépasse pas 1/4.

En réitérant la démarche, on obtient une fonction f3 dont l'oscillation ne dépasse pas 1/8, puis une fonction fn dont l'oscillation ne dépasse pas 2n. Les fonctions deviennent « de plus en plus continues », même si aucune ne l'est vraiment. Graphiquement, cela se traduit par le fait que le dégradé de couleur entre F et G est de plus en plus « lisse ».

La suite (fn) converge uniformément car l'intervalle [0, 1] est complet. Sa limite devrait satisfaire les hypothèses du lemme[10].

Usages[modifier | modifier le code]

On trouve le lemme d'Urysohn dans deux contextes géométriques différents.

Démonstrations topologiques[modifier | modifier le code]

Lemme d'Urysohn[modifier | modifier le code]

Soit D une partie dénombrable dense de ]0, 1[, par exemple l'ensemble des fractions dyadiques[13], ou simplement ∩]0, 1[[14].

  • On définit une famille (U(r))rD d'ouverts telle que
    \forall r \in D \quad F\subset U(r)\text{ et }\overline{U(r)}\subset X\setminus G
    et
    \forall r,s \in D\quad r < s \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(s).
    On procède pour cela par récurrence, après avoir choisi une bijection r de ℕ dans D : soit n un entier naturel et supposons que les U(rk) pour k < n vérifient les deux conditions ci-dessus. Le fermé
    F_n=F\cup\bigcup_{k<n,r_k<r_n}\overline{U(r_k)}
    est alors inclus dans l'ouvert
    O_n=(X\setminus G)\cap\bigcap_{k<n,r_k>r_n}U(r_k).
    Puisque X vérifie la propriété T4, il existe donc un ouvert U(rn) tel que
    F_n\subset U(r_n)\text{ et }\overline{U(r_n)}\subset O_n.
  • On définit ensuite une fonction f de X dans [0, 1] par
    f(x)=\inf\left(\{s\in D\mid x\in U(s)\}\cup\{1\}\right)=\sup\left(\{r\in D\mid x\notin\overline{U(r)}\}\cup\{0\}\right).
    Par construction, f vaut 0 sur F et 1 sur G. Elle est continue car semi-continue à la fois supérieurement et inférieurement.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Soit K une partie compacte d'un espace localement compact X. L'objectif est de montrer l'existence d'une fonction f continue, à support compact, qui vaut 1 sur K[15]. Puisque X est localement compact, pour tout point k de K, il existe un ouvert Uk contenant k et dont l'adhérence est compacte. La famille (Uk) forme un recouvrement ouvert du compact K, donc il est possible d'en extraire un sous-recouvrement fini (Ukn). L'union des Ukn est un ouvert U contenant K et dont l'adhérence L est compacte donc normale. Le lemme d'Urysohn montre qu'il existe une fonction fL, qui vaut 1 sur K et 0 sur le complémentaire de U dans L. On prolonge fL par une fonction f, définie sur X et qui vaut 0 sur le complémentaire de L dans X. La fonction f est continue sur le fermé L, et nulle donc continue sur le complémentaire de U dans X. Elle est donc continue sur l'union X de ces deux fermés. Le support de la fonction f est un fermé du compact L, la fonction f est donc à support compact.

Démonstrations différentielles[modifier | modifier le code]

Fonction plateau[modifier | modifier le code]

Fonction-plateau-(2).jpg

Dans toute la suite de l'article E désigne un espace euclidien et n sa dimension. La démonstration du lemme d'Urysohn en géométrie différentielle demande la construction de fonctions plateau, analogue à celle illustrée sur la figure de droite. On cherche une application fδ, où δ est un réel strictement positif, de E et à valeurs dans les nombres réels positifs, à support dans la boule fermée de centre le vecteur nul et de rayon δ, infiniment différentiable et d'intégrale sur E égale à 1[16].

Fonction-plateau-(1).jpg

Pour construire une telle fonction, on bâtit d'abord la fonction illustrée en rouge sur la figure de gauche. Soit a et b deux nombres réels tels que a < b, on cherche à construire une application φab définie sur R, à support égal à [ab], infiniment dérivable et à valeurs dans les nombres réels strictement positifs. On définit la fonction φab par :

\forall x \in [-\infty, a] \cup [b, \infty],\; \varphi_{ab}(x) = 0 \quad\text{et}\quad \forall x \in ]a,b[,\; \varphi_{ab}(x) = \exp \left(\frac {-1}{(x-a)(b-x)}\right)

Une rapide vérification montre que φab est bien infiniment dérivable, à support égal à [ab] et à valeurs positives. Comme elle est à valeurs strictement positives sur ]ab[, l'intégrale dont la valeur est notée k-1 est bien différente de 0.

k^{-1} = \int_a^b \varphi_{ab}(t) \mathrm dt

On cherche alors à construire la fonction illustrée en bleu sur la figure de gauche. C'est une fonction ψab de R dans l'intervalle [0, 1] qui vaut 1 pour toute valeur inférieure à a, 0 pour toute valeur supérieure à b et qui est infiniment dérivable. Pour la construire, il suffit de considérer la primitive de la fonction -kab qui vaut 0 en b. La fonction fδ est alors définie par :

\forall u \in E \quad f_{\delta}(u) = \lambda \psi_{0\delta}(\|u\|)\quad\text{avec}\quad \lambda^{-1} = \int_E \psi_{0\delta}(\|u\|) \mathrm d u

Lemme[modifier | modifier le code]

Urysohn-Différentiel-(1).jpg
Urysohn-Différentiel-(2).jpg

On suppose que E est un espace euclidien, K, illustré en vert sur la figure de gauche est un compact, Ω est un ouvert contenant K, en jaune sur la figure et on note cΩ, en rouge, le fermé complémentaire de Ω. L'objectif est de construire une application définie sur E, à valeurs dans [0, 1], qui vaut 1 sur K, 0 sur cΩ et infiniment différentiable. Cela revient à dire que la fonction g recherchée possède un graphe inclus dans la cage jaune de la figure en haut à droite (sauf sur la zone rouge où elle est nulle) et qu'elle recouvre le graphe de la fonction caractéristique que K, illustrée en bleu-vert sur la même figure. En termes plus mathématiques on obtient, si χK et χΩ désignent les fonctions caractéristiques de K et de Ω :

\forall x \in E \quad \chi_{\Omega}(x) \ge g(x) \ge \chi_{K}(x)

Considérons la fonction de K dans R+, qui à x associe la distance entre x et cΩ. C'est une fonction continue, définie sur un compact, elle atteint sa borne inférieure. Si cette borne inférieure était nulle, elle serait atteinte en un point x adhérent à K et à cΩ. Comme ces deux ensembles sont fermés, x serait élément de K et de cΩ. Par définition de Ω, un tel point ne peut exister et la borne inférieure est strictement positive. Soit δ un réel strictement positif tel que 2.δ soit plus petit que cette borne inférieure (illustré sur la figure de gauche). On considère alors l'ensemble V, illustré en violet sur la figure de gauche, des points de E situés à une distance inférieure ou égale à δ de K. Par construction, tout point de cΩ est à une distance au moins égale à δ de V et toute boule de centre un point de K et de rayon δ est incluse dans l'ensemble V.

On considère la fonction caractéristique χV de l'ensemble V, illustrée sur la figure au milieu à droite et on définit g comme le produit de convolution de la fonction χV et fδ du paragraphe précédent :

\forall x \in E \quad g(x) = (f_{\delta} \ast \chi_V) (x) = \int_E f_{\delta}(x-t) \cdot \chi_V(t) \mathrm dt

Comme les deux fonctions sont à support compact, l'intégrale est bien définie. Comme fδ est une fonction infiniment différentiable, la fonction g l'est[17]. Comme la fonction caractéristique est à valeurs positives comprises entre 0 et 1 et que fδ est une fonction positive, d'intégrale sur E égal à 1, la fonction g prend ses valeurs dans l'intervalle [0, 1]. Si x est un élément de K, la fonction qui à t associe fδ(x - t) est partout nulle, sauf sur la boule de centre x et de rayon δ. Si x est élément de K, cette boule est incluse dans V, on en déduit :

\forall x \in K \quad g(x) = \int_{B(x,\delta)} f_{\delta}(x-t)\mathrm dt = \int_{B(0,\delta)} f_{\delta}(t)\mathrm dt=1

Si x est élément de cΩ, la fonction qui à t associe fδ(x - t) est encore partout nulle, sauf sur la boule de centre x et de rayon δ. Sur cette boule, la fonction χV est nulle, on en déduit que sur le complémentaire de Ω, la fonction g est bien nulle. Cette remarque termine la démonstration[3]. La fonction g est celle illustrée sur la figure en bas à droite.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dans un espace métrique, le lemme d'Urysohn est immédiat : voir l'article Axiome de séparation (topologie).
  2. Serge Lang, Analyse Réelle, Paris, InterEditions,‎ 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 38.
  3. a et b La démonstration de la version différentielle présentée ici est analogue à celle de « Lemme d'Urysohn », sur les-mathematiques.net.
  4. (en) Tony Crilly, « The emergence of topological dimension theory », dans I. M. James, History of Topology, Elsevier,‎ 1999 (ISBN 978-0-08053407-7, lire en ligne), chap. 1, p. 1-24.
  5. (de) Boto von Querenburg (de), Mengentheoretische Topologie, vol. 3, Berlin, Springer,‎ 2001, 3e éd., poche (ISBN 978-3-540-67790-1).
  6. a et b Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], Springer, 2006, p. 205.
  7. (de) P. Urysohn et P. Aleksandrov, « Zur Theorie der topologischen Räume », Mathematische Annalen, 1924.
  8. a et b L. C. Arboleda, « Les Débuts de l'École Topologique Soviétique : Notes sur les Lettres de Paul S. Alexandroff et Paul S. Urysohn à Maurice Fréchet », Arch. Hist. Exact Sci. (en), vol. 20, no  1, 1979, p. 73-89.
  9. a et b Article « Jean Dieudonné » dans l'Encyclopædia Universalis.
  10. Cette approche correspond à la preuve donnée dans (en) James Dugundji (en), Topology, W. C. Brown, 1989 (ISBN 978-0-69706889-7), p. 146.
  11. (en) Mark Mandelkern, « A short proof of the Tietze-Urysohn extension theorem », Archiv der Mathematik, vol. 60, no 4,‎ 1993, p. 364-366 (lire en ligne).
  12. Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions], p. 114.
  13. Ce choix courant est adopté par Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale supérieure (2008-2009) », p. 37.
  14. (en) proof of Urysohn's lemma de PlanetMath.
  15. La démonstration proposée ici est extraite de Lang 1977, p. 38.
  16. On trouve ce type de construction dans Berger Gostiaux, p. 19.
  17. Voir à ce sujet l'article « Intégrale paramétrique ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) M. Henle, A combinatorial introduction to topology, Dover Publications (1994) (ISBN 0486679667)

Lien externe[modifier | modifier le code]

G. Favi, Quelques idéaux maximaux de l'anneau des fonctions continues Journal de l'IMA, Université de Basel (Une démonstration de la version topologique)