Lemme d'Euclide

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En mathématiques le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 32 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi :

Lemme d'Euclide — Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c.

Une généralisation est :

Lemme de Gauss — Si un nombre entier a divise le produit de deux autres nombres entiers b et c, et si a est premier avec b, alors a divise c.

Formellement :

\forall(a,b,c)\in\Z^3,(a|bc\land\operatorname{PGCD}(a,b)=1)\Rightarrow a|c.

Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19).

Les noms de ces deux propositions sont parfois confondus[réf. nécessaire]. On notera par ailleurs que le lemme « de Gauss » apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle[1].

Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.

Preuve directe du lemme d'Euclide[modifier | modifier le code]

Cette preuve est essentiellement celle de Gauss, qui raisonne par l'absurde, en supposant l'existence d'un nombre premier p et d'entiers naturels a et b non divisibles par p tels que p divise ab. Pour p et a fixés, il choisit le plus petit d'entre ces b (donc 1 < b < p, par réduction modulo p) et note b' le reste de la division euclidienne de p par b. Ainsi, p = mb + b' donc ab' = ap – mab est multiple de p, or 0 < b' < b < p donc b' n'est pas multiple de p, ce qui conclut (par contradiction avec la minimalité de b).

Preuve directe du lemme de Gauss[modifier | modifier le code]

Soient a, b et c trois entiers, avec PGCD(a, b) = 1 et a|bc. Puisque a divise à la fois ac et bc, il divise leur PGCD, or PGCD(ac, bc) = PGCD(a, bc = 1×c = c.

La démonstration pour n'importe quel anneau intègre à PGCD est identique. La démonstration classique pour l'anneau des entiers utilise le théorème de Bézout[2] et s'étend donc seulement aux anneaux de Bézout.

Conséquences du lemme de Gauss[modifier | modifier le code]

Lemme d'Euclide[modifier | modifier le code]

Les nombres premiers et leurs opposés constituent les éléments irréductibles de l'anneau ℤ des entiers. L'énoncé du lemme d'Euclide dans un anneau quelconque est donc : tout irréductible est premier (c'est-à-dire divise l'un des deux facteurs dès qu'il divise un produit). Il est vérifié dès que le lemme de Gauss l'est.

Lien entre PGCD et PPCM[modifier | modifier le code]

Le plus petit commun multiple de deux entiers premiers entre eux est leur produit (au signe près).

Formellement :

\forall(a,b)\in\Z^2\quad{\rm PGCD}(a,b)=1\Rightarrow{\rm PPCM}(a,b)=|ab|.

Cet énoncé est en fait équivalent au lemme de Gauss.

Il se généralise, dans tout anneau A (commutatif, unitaire et intègre) vérifiant le lemme de Gauss, à toute famille finie d'éléments de A premiers entre eux deux à deux : leur PPCM est leur produit.

Primalité avec un produit[modifier | modifier le code]

Dans tout anneau vérifiant le lemme de Gauss :

Un élément est premier avec un produit si (et seulement si) il est premier avec chaque facteur.

Unicité de la forme irréductible d'une fraction[modifier | modifier le code]

Tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible. Le lemme de Gauss permet de montrer qu'une telle écriture est unique :

Pour tout rationnel r, l'écriture de r sous la forme r = p/q, avec p et q premiers entre eux et q strictement positif, est unique.

De même, pour tout élément du corps des fractions d'un anneau intègre à PGCD, l'existence d'une forme irréductible est assurée et son unicité (à produit près par un inversible) se déduit du lemme de Gauss.

Fermeture intégrale[modifier | modifier le code]

De la conséquence ci-dessus sur la primalité avec un produit (et de l'existence d'une forme irréductible pour un anneau à PGCD) on déduit :

Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos.

Réciproque du lemme de Gauss[modifier | modifier le code]

Soient a non nul et b, deux éléments d'un anneau intègre. Si, pour tout élément c, a divise bc implique que a divise c, alors a et b sont premiers entre eux.

En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = cd et b = ed. Par hypothèse, comme a divise bc, on a que a divise c donc d est inversible.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions], vol. 2, p. 338-339.
  2. Voir par exemple Théorème de Gauss sur Wikiversité.