Lemme d'Artin-Rees

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Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom de « théorème d'Artin-Rees ») est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la complétion (en) des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit.

Énoncés[modifier | modifier le code]

Le lemme s'énonce comme suit.

Lemme d'Artin-Rees — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, M un A-module de type fini, et N un sous-module de M. Alors il existe un entier k tel que

(I^nM)\cap N=I^{n-k}((I^kM)\cap N) pour tout nk.

On en déduit le théorème suivant.

Théorème d'intersection de Krull — Soient A un anneau commutatif noethérien, I un idéal de A, et M un A-module de type fini. Alors l'intersection

\cap_{n>0} I^nM

est égale à l'ensemble des x\in M tels que (1-\alpha)x=0\, pour un certain \alpha\in I. De plus, il existe un tel α indépendant de ces x.

Corollaires[modifier | modifier le code]

Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.

Corollaire 1 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I, J deux idéaux de A. Alors il existe un entier h tel que

I^h\cap J\subset IJ.

Corollaire 2 — Soient A un anneau commutatif noethérien et I un idéal de A. Alors l'intersection

\cap_{n>0} I^n

est nulle si et seulement si aucun élément de 1+I n'est diviseur de zéro dans A.

En particulier,

  • si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ;
  • lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A).

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Démonstration du lemme[modifier | modifier le code]

La démonstration ci-dessous s'inspire de Lang.

Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre

B=\oplus_{n\in\N}I^nX^n.

Comme I est un idéal de type fini de A, B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.

Notons

M_X=A[X]\otimes_AM=\oplus_{n\in\N}X^nM,

et définissons de même N_X. Ainsi, N_X est un sous-A[X]-module de M_X, en particulier un sous-B-module.

Définissons un autre sous-B-module de M_X :

M'_X=B\otimes_AM=\oplus_{n\in\N}X^nI^nM.

Comme M est un A-module de type fini, M'_X\, est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module M'_X\cap N_X est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,

\oplus_{n\in\N}X^n((I^nM)\cap N)=M'_X\cap N_X=B\Bigl(\bigoplus_{j=0}^kX^j\bigl((I^jM)\cap N\bigr)\Bigr),

d'où, pour tout n\ge k,

I^nM\cap N=\sum_{j=0}^kI^{n-j}((I^jM)\cap N)=I^{n-k}\sum_{j=0}^kI^{k-j}((I^jM)\cap N)\subset
I^{n-k}((I^kM) \cap N),

ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.

Démonstration du théorème[modifier | modifier le code]

Notons N=\cap_{n>0} I^nM . Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors xnx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.

Références[modifier | modifier le code]