Probabilités des dés en jeu de rôle

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Les jeux de rôle « sur table » utilisent en général des dés pour introduire le hasard. Ceci est un élément important du suspense, les événements n'étant pas sûrs. De plus, on ne peut pas permettre au meneur de jeu de décider de la victoire et de la vie des personnages en cas de combat ; on a donc recours à ce mécanisme pour introduire un peu d'impartialité.

Dans bien des cas, il s'agit pour le joueur d'un jeu de rôle d'effectuer un jet de dé, charge au maître du jeu d'interpréter le tirage en termes de réussite ou d'échec de l'action entreprise par le joueur. Les différents jeux existants utilisent différentes règles à cette fin.

Les jets de dés[modifier | modifier le code]

Dés utilisés en jeux de rôle

Normalement, le jet d'un dé donne des valeurs allant de 1 au nombre de faces, par exemple, un dé à six faces (dé classique, noté « d6 ») donne des valeurs comprises entre 1 et 6, tandis qu'un dé à vingt faces (d20) donne des valeurs entre 1 et 20.

Si on lance plusieurs dés identiques, alors la plage va du nombre de dé(s) à la somme du nombre de faces ; par exemple si on lance deux dés à six faces (noté « 2d6 »), la plage de valeurs est 2–12, et pour 3d6, la plage est 3–18.

On utilise souvent deux dés à dix faces (d10) pour avoir un pourcentage (nombre compris entre 1 et 100, souvent désigné comme un d100 ou parfois d%) :

  • soit le joueur n'a qu'un seul dé ; le premier jet indique le chiffre des dizaines, le second le chiffre des unités ;
  • soit le joueur a deux dés que l'on peut distinguer (couleur ou taille différentes) ; il désigne un des deux dés comme celui des « dizaines » (l'autre devenant le dé « unitaire »).

Deux zéros se lisent comme un 100. Il existe un dé ayant réellement cent faces, mais qui est peu utilisé — les faces faisant un angle faible entre elles, il a une propension à rouler sans s'arrêter (mais des systèmes ont permis de limiter le roulement comme des billes de plastique ou de plomb) et la principale difficulté est la lecture du résultat — et reste une curiosité.

Article détaillé : Dé#Dés non cubiques.

Jet sans limite[modifier | modifier le code]

Le jet sans limite (JSL) (anglais : open-ended die, littéralement jet à fin ouverte ) est un mécanisme de jeu de rôle permettant d'étendre la plage de valeurs données par un jet de dé(s).

Lorsque l'on obtient un des extrêmes de la plage, on relance les dés ; le résultat est alors ajouté au résultat précédent si le premier jet était maximal, retranché si le jet était minimal. Ce mécanisme est récursif, ce qui explique le terme de « sans limite ».

Exemple avec 1d20 :

Si le jet donne un résultat entre 2 et 19, je garde le résultat tel quel.
Si le résultat est un 20, je tire de nouveau un d20 et le résultat est ajouté à ce 20 ; si le deuxième jet est un 20 (on a donc 40 pour l'instant), je tire un troisième dé que j'ajoute…
Si le premier résultat est un 1, je retire un d20 et le résultat est déduit de ce 1 ; si le deuxième jet est un 20 (on a donc -19 pour l'instant), je tire un troisième dé que je retranche…

Les principaux jeux utilisant ce système sont Rolemaster et les jeux dérivés : Jeu de rôle des Terres du Milieu, Agone, Spacemaster.

On notera en outre que par exemple le D6 System, et Star Wars qui en est à l'origine, applique ce système à un seul des dés à six faces lancés, le « dé libre » (wild die). Dans un autre registre, Anima permet les jets ouverts sur des dés à cent faces : il est donc possible d'obtenir des résultats allant dans les 300, 400, … Ce qui permet des actions a priori physiquement impossibles.

Utilisation dans Rolemaster[modifier | modifier le code]

Le système de Rolemaster utilise exclusivement des d100.

La plupart des jets sont des jets sans limite, également appelés jets de dés « ouverts » (open ended).

Le principe en est simple :

Réussite critique
(ou Jet sans limite positif) Sur un jet de d100 dans la plage de 96-100, on relance le dé et on ajoute le résultat. Tant que l'on obtient un jet de 96-100, on relance et on ajoute.
Exemple : 98 ; je relance et obtiens 100, total temporaire = 198 mais je viens de faire un 100 donc je relance et obtiens 45, pour aboutir à un total final de : 243. Du fait que j'ai fait 45, on ne relance pas de jet supplémentaire.
Échec critique
(ou Jet sans limite négatif) Même principe qu'au-dessus sauf que l'on soustrait le résultat au jet. La plage de critique est de 01-05 seulement pour le premier jet. La plage d'échec critique pour les jets suivants est dans la tranche des 96-100. On relance tant que l'on fait des jets dans cette dernière plage.
Exemple : 4, je relance (96), total temporaire = -92 mais je viens de faire un 96 donc je retire (100 à nouveau), total temporaire = -192. Je retire encore (3) pour aboutir à un total final de : -195.

Utilisation des jets de dé[modifier | modifier le code]

Le jet de dé est en général comparé à un seuil ; une action donne un effet si le jet est au-dessus de ce seuil, et un autre effet si le jet est en dessous.

Par exemple, on peut avoir une table donnant le temps qu'il fait ; selon le résultat du jet de dé, la table indique s'il pleut, s'il fait beau, s'il y a du vent…

Lorsqu'un personnage tente une action incertaine, c'est le jet de dé qui indique si l'action échoue ou réussit, en général en prenant en compte la difficulté de l'action et la compétence du personnage.

Voir l'article détaillé Système de jeu.

Un peu de probabilité…[modifier | modifier le code]

Différence entre 1d20, 2d10 et 3d6[modifier | modifier le code]

On pourrait résumer la question par : « le résultat d'un dé à vingt faces (1d20) est-il équivalent à la somme de deux dés à dix faces (2d10) ou de trois dés à six faces (3d6) ? » La réponse est évidemment non. Mais il ne faut pas croire que la seule différence est l'intervalle couvert par le résultat, ce que pouvait laisser à penser la première notation qui a existé (celle de Donjons & Dragons 1re édition) : 1d20 était noté « 1–20 », 2d10 était noté « 2–20 » et 3d6 était noté « 3–18 ».

Il faut en fait considérer la notion de dénombrement, utilisée en probabilité (mathématiques). Il faut compter le nombre d'événements, c'est-à-dire le nombre de manières que l'on a d'obtenir un résultat (ou encore le nombre de positions des dés donnant ce résultat).

Avec 1d20, chaque nombre ne peut être fait que d'une seule manière, avec une seule position du dé. Chaque position ayant la même probabilité d'apparaître, chaque nombre a donc une probabilité de 1/20 (soit 5 %) de sortir.

Avec 2d10, on a cent possibilités, cent positions possibles des deux dés :

Évènements avec 2d10
no 1 no 2 somme
1 1 2
1 2 3
1 3 4
1 10 11
2 1 3
2 2 4
10 9 19
10 10 20
probabilités comparées d'avoir un résultat avec 1d20, 2d10 et 3d6

On voit que si l'on n'a qu'une seule manière (soit une chance sur cent, 1 %) d'obtenir 2 (1 + 1) ou 20 (10 + 10), on a deux manières (soit 2 %) d'obtenir 3 (1 + 2 ou 2 + 1), trois manières (soit 3 %) d'obtenir 4 (1 + 3, 2 + 2 et 3 + 1)… et neuf manières (soit 9 %) d'obtenir 10 (1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, 7 + 3, 8 + 2, 9 + 1). On peut faire le même calcul avec 3d6 : il y a 216 combinaisons possibles mais une seule manière (soit 0,46 %) d'obtenir 3 (1 + 1 + 1), trois manières (1,39 %) d'obtenir 4 (2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2)…

Probabilité de la somme de dés
somme fréquence
sur 100 (%)
1d20 2d10 3d6
1 5 0 0
2 5 1 0
3 5 2 0,46
4 5 3 1,39
10 5 9 12,5
11 5 10 12,5
12 5 9 11,6
18 5 3 0,46
19 5 2 0
20 5 1 0

On remarque que plus on a de dés, plus on s'approche d'une « courbe en cloche », en raison d'un théorème bien connu en probabilités, le théorème central limite.

Boîte à moustaches pour le tirage de 1d20, 2d10 et 3d6

On peut représenter les différences entre les répartitions par des quantiles :

  • la médiane : valeur en dessous de laquelle — et au dessus de laquelle — il y a la moitié des valeurs ;
  • le premier quartile : valeur en dessous de laquelle il y a un quart des valeurs ;
  • le troisième quartile : valeur au-dessus de laquelle il y a un quart des valeurs ;
  • les valeurs extrêmes.

La médiane donne une estimation du centre de la distribution — elle est ici égale à la moyenne —, et l'écart inter-quartile (la différence entre le troisième et le premier quartile) donne une estimation de la largeur de la distribution. On représente souvent cela par une boîte à moustaches : le trait du milieu est la médiane, le rectangle représente l'intervalle inter-quartile, et les traits extrêmes représentent l'amplitude totale.

Quartiles pour 1d20, 2d10 et 3d6
Dés Minimum Premier
quartile
Médiane Troisième
quartile
Maximum Écart
interquartile
1d20 1 5,5 10,5 15,5 20 10
2d10 1 8 11 14 20 6
3d6 1 8 10,5 13 20 5

On voit donc que le centre bouge peu, mais que la dispersion diminue lorsque l'on augmente le nombre de dés.

Lorsque l'on jette 3d6, on a plus de chances d'obtenir un score moyen (environ 10) qu'avec 2d10 ; et avec 1d20, un score moyen n'est pas plus favorisé qu'un autre. Donc, si l'on tire les caractéristiques aux dés, plus on additionne de dés, plus on aura de chance d'avoir une caractéristique moyenne, rares seront les personnages avec une caractéristique haute ou basse. Avec un seul dé, on aura autant de chances d'avoir une caractéristique basse que haute ou moyenne.

Il ne s'agit pas de dire qu'un système est meilleur que l'autre : d'une part l'approche du réel par des nombres est nécessairement très imparfaite, un système n'est pas plus réaliste qu'un autre (par contre, il peut être plus jouable) ; d'autre part, ce n'est pas la règle en elle-même qui est importante (à partir du moment où elle permet une bonne fluidité de jeu), mais surtout le fait qu'elle s'applique à tout le monde.

Statistiques des sommes de dés[modifier | modifier le code]

pour un dé régulier : la moyenne s'obtient simplement comme la moitié de la somme du minimum et du maximum. Exemple : la moyenne d'un dé cubique classique (à six faces de 1 à 6), la moyenne est de (1+6)/2 = 3,5 ; pour un dé à dix faces, la moyenne est de 5,5. Si le dé n'est pas régulier (par exemple : le dé doubleur du backgammon, qui porte les points 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64) il faut calculer la moyenne (somme des points divisées par le nombre de faces (dans l'exemple, 126/6 = 21)

pour plusieurs dés : C'est une règle mathématique universelle que, pour des séries indépendantes, les moyennes, les minimums, et les maximums s'additionnent respectivement, et cela s'applique aux dés, quel que soit leur nombre. Par exemple, pour un dé à six face et un dé à dix faces, la moyenne est la somme des moyennes de (3,5 + 5,5 = 9), le minimum est la somme des minimums (1+1 = 2) et le maximum la somme des maximums (6 + 10 = 16). Si les dés sont réguliers, la moyenne s'obtient toujours comme demi-somme du maximum et du minimum ( (2 + 16)/2 = 9).

le mode est la valeur, ou le groupe de valeurs, qui ont la probabilité la plus importante.

  • pour un dé, toutes les valeurs sont équiprobable et le mode couvre toute la plage de valeur (par exemple : la plage de 1 à 6 pour le dé classique)
  • pour la somme de deux dés réguliers, le mode est la plage de valeur comprise entre le maximum du plus petit dé + le minimum du plus grand, et le maximum du plus grand dé + le minimum du plus petit (par exemple : pour 1D4 + 1D10, entre 4+1 et 1+10). Toutes les valeurs du mode ont la même probabilité, avec un nombre de cas égale au nombre de face du plus petit dé (dans l'exemple, il y a toujours 4 façons sur 40 de faire 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11). Pour deux dés identiques, la règle s'applique mais le mode se réduit à une seule valeur (entre 1+6 et 6+1 pour deux dés classique, c'est-à-dire 7 ; qui s'obtient de 6 façons différentes)
  • pour trois dés et plus, le mode se réduit à la moyenne (exemple : 14 pour 4 dés), ou aux deux valeurs entières qui l'encadrent (exemple : 10 et 11 pour trois dés, situation où la moyenne est 10,5)

Nota :

  1. un ajustement fixe ("+1" dans un calcul "1D6 +1") est parfaitement équivalent à un dé à une seule face portant ce chiffre, et que donc on peut appliquer toutes les règles qui précèdent : la moyenne d'1D6 +1 est de 3,5 + 1 = 4,5 etc.
  2. une différence entre des dés est parfaitement équivalente à l'addition d'un dé négatif. Par conséquent les règles continuent à s'appliquer

Choix de certains dés parmi plusieurs (roll & keep)[modifier | modifier le code]

Probabilité d'avoir un score en jetant trois dés, et en jetant quatre dés et en sommant les trois meilleurs
Boîtes à moustaches correspondantes.

Dans certains systèmes, lors de la création des personnages, on jette quatre dés à six faces et on retient les trois meilleurs scores. De fait, les résultats obtenus sont meilleurs que si l'on jetait 3d6. Les courbes de probabilité sont représentées ci-contre.

Comparaison des méthodes
Jet Valeur la
plus probable
Moyenne
3d6 10–11 10,5
3 meilleurs parmi 4d6 13 12,24
Quartiles des méthodes
Dés Minimum Premier
quartile
Médiane Troisième
quartile
Maximum Écart
interquartile
3d6 3 8 10,5 13 18 5
3 meilleurs parmi 4d6 3 10 12 14 18 4
Probabilité d'avoir une valeur en choisissant le meilleur d6 parmi n

Dans certains jeux (Shadowrun, jeux du Monde des ténèbres, comme Vampire : la Mascarade), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.

Quartiles pour le meilleur dé par mi n
Nombre
de dés
Minimum Premier
quartile
Médiane Troisième
quartile
Maximum Écart
interquartile
1 1 2 3,5 5 6 3
2 1 3,5 5 6 6 2,5
3 1 4 5 6 6 2
4 1 5 6 6 6 1
5 1 5 6 6 6 1
Probabilité d'avoir une valeur en choisissant la plus haute parmi avec deux dés différents.
Idem avec trois dés différents.

Dans d'autres jeux, comme par exemple Usagi Yojimbo, on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces n), il y a n² combinaisons possibles :

  • la valeur « 1 » n'a qu'une seule chance de sortir (1 et 1), soit une probabilité 1/n 2 ;
  • la valeur la plus haute n a 2n-1 possibilités de sortir (un des dés est indique n, l'autre peut prendre toutes les valeurs possibles), la probabilité est donc (2n-1)/n 2 ;
  • entre ces deux valeurs, la probabilité croît linéairement (pour une valeur i, un des dés doit avoir la valeur i et l'autre une valeur inférieure ou égale à i).

Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, n1 et n2 (n1 < n2) :

  • de 1 à n1, on a comme ci-dessus un comportement linéairement croissant ;
  • entre n1+1 et n2, seul compte le score du dé ayant le plus de faces, on a donc une probabilité uniforme valant 1/n2.
Probabilités en sommant deux dés choisis (les plus mauvais ou les meilleurs) parmi n
Probabilité d'avoir un score (haut) et probabilité d'atteindre ou de dépasser un score (bas)

Dans le jeu de rôle P'tites sorcières, on somme deux dés à six faces, mais selon la puissance du personnage, il s'agit

  • des deux pires dés parmi trois ou quatre (personnage faible) ;
  • simplement de deux dés (personnage moyen) ;
  • des deux meilleurs dés parmi trois ou quatre (personnage fort).
Statistiques du système de P'tites sorcières
Jet Valeur la
plus probable
Moyenne
2 pires parmi 4 4 4,65
2 pires parmi 3 5 5,54
2d6 7 7
2 meilleurs parmi 3 9 8,46
2 meilleurs parmi 4 10 9,34
Quartiles pour P'tites sorcières
Dés Minimum Premier
quartile
Médiane Troisième
quartile
Maximum Écart
interquartile
2 pires parmi 4d6 2 3 4 6 12 3
2 pires parmi 3d6 2 4 5 7 12 3
2d6 2 5 7 9 12 4
2 meilleurs parmi 3d6 2 7 9 10 12 3
2 meilleurs parmi 4d6 2 8 10 11 12 3

On voit que les médianes sont différentes des moyennes, ce qui est caractéristique des distributions asymétriques.

Voir également ci-dessous Dépasser un seuil avec au moins un dé parmi n.

Jet sans limite[modifier | modifier le code]

Probabilité d'obtenir une valeur avec un jet sans limite d'un d20

Considérons un jet sans limite avec un dé à vingt faces.

Certaines valeurs ne peuvent pas sortir : évidemment 1 et 20, puisqu'un premier jet donnant 1 ou 20 est nécessairement modifié. On a 5 % ((1/20)×100 %) de chances d'obtenir chaque valeur entre 2 et 19 ; 5 % d'obtenir une valeur nulle ou négative ; 5 % d'obtenir une valeur supérieure à 20.

Dans le cas d'un second jet, chaque valeur a 5 % de chances de sortir, soit une probabilité totale de 0,25 % ((1/20)²×100 %). De manière récursive, on en déduit que :

  • pour les valeurs inférieures ou égales à 1,
    • les valeurs de la forme (1-20·k) ont une probabilité nulle (k étant un nombre entier positif ou nul) ;
    • les valeurs entre (1-20·(k+1)) et (1-20·k) ont une probabilité 0,05k+2×100 % de sortir ;
  • pour les valeurs strictement supérieures à 1,
    • les valeurs de la forme 20·k ont une probabilité nulle (k étant un entier strictement positif) ;
    • les valeurs entre 20·k et 20·(k+1) ont une probabilité 0,05k+1×100 % de sortir.

Ceci est à comparer avec la probabilité d'1d20 simple : 5 % d'obtenir chaque valeur entre 1 et 20.

On a donc la table de probabilités suivante, entre -50 et 50 :

Probabilité d'un d20 sans limite
Valeur Probabilité (%) Valeur Probabilité (%)
-50 0,000 625 % 2 5 %
-40 0,000 625 % 19 5 %
-39 0 % 20 0 %
-38 0,012 5 % 21 0,25 %
-20 0,012 5 % 39 0,25 %
-19 0 % 40 0 %
-18 0,25 % 41 0,012 5 %
0 0,25 % 50 0,012 5 %
1 0 %

Nombre de dés variable[modifier | modifier le code]

Dans certains jeux, le nombre de dés à jeter varie en fonction de la difficulté de l'action ou bien de la capacité du personnage.

Probabilités comparées d'avoir un résultat avec nd6.
Boîtes à moustaches correspondantes.

Dans certains jeux (Star Wars 1e éd., D6 System, Le Livre des cinq anneaux), la capacité du personnage à résoudre une action est donnée par un nombre de dés ; par exemple un personnage peu doué aura 1d6 et un personnage très doué aura 5d6, et un seuil de difficulté moyen est 9. Ou alors (RuneQuest, Avant Charlemagne, Empire galactique, Trauma), la difficulté est représentée par un nombre de dés, et la capacité d'un personnage est un nombre fixe ; par exemple, un personnage moyen a une capacité de 9, une action simple se joue à 1d6 et une action complexe à 5d6. On peut faire les mêmes calculs que précédemment, les résultats sont présentés sur la figure ci-contre.

Comme précédemment, nous remarquons que plus on somme de dés, plus on se rapproche d'une courbe en cloche (théorème central limite).

Le nombre de dés fait évoluer les valeurs extrêmes, la dispersion et la médiane/moyenne.

Quartiles de la somme de nd6
Nombre
de dés
Minimum Premier
quartile
Médiane Troisième
quartile
Maximum Écart
interquartile
1 1 2 3,5 5 6 3
2 2 5 7 9 12 4
3 3 8 10,5 13 18 5
4 4 12 14 16 24 4
5 5 15 17,5 20 30 5

On voit que globalement la dispersion (écart interquartile) augmente avec le nombre de dés ; cela est encore plus flagrant si l'on divise l'écart interquartile par la médiane (comme l'on passe de l'écart type au coefficient de variation), ce que l'on peut appeler un écart interquartile normalisé.

Écart interquartile normalisé pour nd6
Nombre
de dés
Écart
interquartile
normalisé
1 0,86
2 0,57
3 0,48
4 0,29
5 0,29

On voit que l'écart interquartile vaut 86 % de la médiane pour 1d6, et seulement 29 % de la médiane pour 4 ou 5d6.

Dans certains autres jeux, la caractéristique est également un nombre de dés, variable donc, mais on ne fait pas la somme ; on retient le meilleur des dés. Avec ce système, l'amplitude des valeurs ne change pas, mais bien entendue, plus on jette de dés, plus on a de chances d'avoir un résultat élevé. Voir Choix de certains dés parmi plusieurs (roll & keep).

Probabilité de réussite d'un test[modifier | modifier le code]

Probabilité de réussite et équilibre du jeu[modifier | modifier le code]

Dans une partie de jeu de rôle, la résolution d'une situation hasardeuse est un « jeu dans le jeu ». La manière dont on résout la situation, le test — combien de dés et quels dés on jette par exemple — participe à la construction de l'ambiance, en particulier si le joueur doit faire des choix (notion de stratégie) ; par exemple, le joueur dispose d'une réserve de dés de bonus, doit-il en utiliser un dans la situation présente ou doit-il le garder pour plus tard ?

Mais d'un point de vue du résultat pur, seule importe la probabilité de réussite. Ce point est important pour l'équilibre du jeu : si les jets sont trop difficiles, les joueurs risquent l'écœurement, s'ils sont trop faciles, il n'y aura plus d'enjeu. En particulier, si une situation de vie ou de mort se joue sur un jet, alors une probabilité de 50 % signifie que le personnage a une chance sur deux de mourir, ou bien que statistiquement la moitié de l'équipe va y passer.

Si par contre le personnage a droit à plusieurs essais, alors la probabilité de réussite détermine le nombre d'essais que devra tenter le personnage pour réussir. Par exemple, si un personnage à 50 % de chances de réussite, alors :

  • il réussit du premier coup dans 50 % des cas ;
  • si le premier essai est un échec, il a 50 % de chances de réussite au second essai, soit une probabilité de 0,5×0,5 = 0,25 = 25 % (donc 75 % de réussite en 2 essais ou moins ;

De manière générale, si la probabilité de réussite est p, alors la probabilité qu'il réussisse au n-ième essai (après n - 1 échecs) vaut :

\mathrm{P}(n) = (1 - p)^{n - 1} \times p.

C'est une loi binomiale avec k = n - 1.

La probabilité cumulée tend vers 1 (100 %), on peut donner le nombre moyen d'essais pour qu'il réussisse,

n = ∑ n×P(n)

ainsi que le nombre d'essai pour que la réussite soit supérieure à 99 % (par exemple)

N tel que ∑1N P(n) ≥ 0,99
Nombre d'essais pour réussir ne action
Probabilité de réussite
sur un essai
Nombre d'essais
moyen
Nombre d'essais
à 99 % de réussite
10 % 10,0 44
20 % 5,0 21
30 % 3,3 13
40 % 2,5 10
50 % 2,0 7
60 % 1,7 6
70 % 1,4 4
80 % 1,3 3
90 % 1,1 2

Cela permet d'interpréter les notions de « personnage moyen », « caractéristique moyenne », « difficulté moyenne ». On prend par exemple une référence haute : si l'on considère qu'un expert à 90 % de chances de réussir du premier coup une opération de difficulté moyenne, alors il mettra en moyenne 1,1 essai pour réussir, et réussira « à coup sûr » (à 99 % de chances) en deux coups.

Un « personnage moyen » (ayant un score de 50 %) mettra deux fois plus de temps en moyenne pour réussir ; et il réussira à coup sûr en 7 coups. Par exemple, dans une classe de mathématique, les « élèves moyens » mettent en moyenne deux fois plus de temps que leur professeur pour réussir un exercice « moyen », et le dernier met sept fois plus de temps. Et si un mécanicien (ayant un score de 90 % en mécanique) met une heure à effectuer une réparation de difficulté moyenne, par exemple changer les plaquettes de frein, alors amateur éclairé (ayant 50 %) mettra deux heures en moyenne, sept heures au pire des cas.

Expression de la probabilité[modifier | modifier le code]

Le cas le plus simple est celui des systèmes donnant directement le pourcentage de réussite (Basic System, Megaversal system, Rêve de dragon, Mega 2, …). Mais dans tous les cas, on peut déterminer la probabilité et l'exprimer en pourcentage.

Probabilité de faire une valeur ou moins (≤) avec 1d20, 2d10 et 3d6. Les fonctions de densité ont une forme en S caractéristique.

Dans un certain nombre de jeux, un jet est réussi si la valeur des dés est inférieure à la valeur de la caractéristique ou de la compétence. On a donc des probabilités cumulées : si la caractéristique vaut 5, alors la probabilité de réussite est la somme des probabilités d'avoir1, 2, 3, 4 et 5. La courbe, également appelée fonction de densité F, a une forme de S caractéristique (sigmoïde). Dans le cas des Défis fantastiques, le jeu de rôle ou de SimulacreS, le jet se fait avec deux dés à six faces, on a donc le cumul suivant[1].

Cumul des probabilités de 2d6
Valeur
(caractéristique)
Probabilité Probabilité cumulée
(Probabilité de réussite)
2 2,8 % 2,8 %
3 5,6 % 2,8 + 5,6 = 8,3 %
4 8,3 % 8,3 + 8,3 = 16,7 %
12 2,8 % 100 %

Cette table donne donc les pourcentages de réussite du test

Reperenons l'exemple de la comparaison sntre 1d20, 2d10 et 3d6. Si l'on considère un seuil de 5, on réussit si l'on fait 1, 2, 3, 4 ou 5 ; il faut donc sommer, cumuler les probabilités. Avec 1d20, on a 5 × 5 % = 25 % de chances de réussite ; avec 2d10, on a 1 + 2 + 3 + 4 = 10 % de chance de réussite. Ceci est synthétisé sur la figure ci-contre.

Si l'on considère un jet sous une capacité (ou au-dessus d'une capacité), on voit qu'en utilisant 2d10 au lieu de 1d20, pour un référentiel de niveaux de difficulté donné, on défavorise les personnages faibles (un personnage ayant une capacité en dessous de 11 a moins de chances de réussir l'action avec 2d10 qu'avec 1d20) ; par contre, cela favorise les personnages forts ; ceci s'accentue encore plus en utilisant 3d6. Il est cependant possible d'adapter le référentiel des niveaux de difficulté de manière à retrouver les mêmes probabilités quel que soit le système choisi.

Dans certains jeux, le résultat des dés doit contraire dépasser une valeur seuil, qui est d'autant plus élevée que l'action est difficile. La probabilité de réussite est donc le complémentaire de la fonction de densité, 1 - F (ou 100 - F en %), on a toujours une courbe en S, mais cette fois-ci décroissante.

Dans le cas du d20 system, les capacités du personnage sont évaluées par un malus/bonus déterminé essentiellement par une caractéristique et le degré de maitrise d'une compétence. La difficulté intrinsèque de l'action est donnée par un degré de difficulté (DD). La table suivante traduit l'ensemble en termes de pourcentage de réussite.

Probabilités de réussite dans le d20 system
Malus/bonus Degré de difficulté
0 10 20 30 40
-5 80 % 30 % 0 % 0 % 0 %
-3 90 % 40 % 0 % 0 % 0 %
0 100 % 50 % 5 % 0 % 0 %
+3 100 % 70 % 20 % 0 % 0 %
+5 100 % 80 % 30 % 0 % 0 %
+10 100 % 100 % 55 % 5 % 0 %
+20 100 % 100 % 100 % 55 % 5 %
Probabilité de réussite d'un test dans Les Contes ensorcelés/Les P'tites Sorcières

Dans le cas des Contes ensorcelés/P'tites sorcières, on a la table suivante ; les valeurs ont été arrondis à l'unité, sauf pour les valeurs inférieures à 1 % ou supérieures à 99 %.

Probabilités de réussite dans les P'tites sorcières
Possibilité Difficulté
immanquable
3
facile
5
moyenne
7
difficile
9
exceptionnelle
11
mauvaise 68 % 31 % 9 % 2 % 0,1 %
faible 80 % 48 % 19 % 5 % 0,5 %
moyenne 92 % 72 % 42 % 17 % 3 %
bonne 98 % 89 % 68 % 36 % 7 %
excellente 99,6 % 96 % 83 % 52 % 13 %

Jet sans limite

Probabilité de dépasser un seuil avec un jet sans limite d'un d20

Si l'on considère la probabilité de dépasser un seuil (il s'agit de l'intégrale de la courbe précédente), on constate donc que :

  • sur une tranche de dix-neuf valeurs, la pente est constante ;
  • toutes les vingt valeurs, on a un plateau horizontal.

La moyenne du jet sans limite est de 10,4 contre 10,5 pour un jet de d20 normal.

Avec un dé à cent faces, en rejouant les score 1–5 et 96–00, on obtient un profil similaire. Les valeurs interdites sont : …, -95, 5, 96, 196, …

Les valeurs entre 6 et 95 ont 1 % de chances de sortir. Pour avoir une valeur entre 101 et 191, il faut obtenir un 1–5 au premier jet ; il existe 5 combinaisons possible par valeur (par exemple pour 110 : 96+14, 97+13, 98+12, 99+11, 00+10), soit 0,05 % de chances d'obtenir ce score (chaque combinaison ayant 0,012 soit 0,01 % de chances de sortir).

Entre 96 et 101, les probabilité croissent de manière linéaire de 0 à 0,05 % de chances :

  • on ne peut jamais obtenir 96 (puisque le 96 est rejoué) ;
  • le 97 peut s'obtenir avec une seule combinaison : 96+01, soit 0,01 % de chances ;
  • le 98 peut s'obtenir de deux manières : 96+02 et 97+01, soit 0,02 % de chances ;

De la même manière, les probabilités entre 191 et 196, les chances passent linéairement de 0,05 % à 0.

Pour les échecs critiques, le calcul est similaire :

  • des scores entre 5 et 0, on passe linéairement de 0 à 0,05 % de chances ;
  • entre 0 et -90, les chances sont de 0,05 % ;
  • entre -90 et -95, les chances passent linéairement de 0,05 % à 0.

Nombre de dés variable

probabilités comparées d'avoir un résultat avec nd6

Dans certains jeux (Star Wars 1e éd., D6 System, Le Livre des cinq anneaux), la capacité du personnage à résoudre une action est donnée par un nombre de dés, le seuil à franchir étant un nombre fixe représentant la difficulté de l'action ; par exemple un personnage peu doué aura 1d6 et un personnage très doué aura 5d6, et un seuil de difficulté moyen est 9. Ou alors (RuneQuest, Avant Charlemagne, Empire galactique, Trauma), la difficulté est représentée par un nombre de dés, et la capacité d'un personnage est un nombre fixe ; par exemple, un personnage moyen a une capacité de 9, une action simple se joue à 1d6 et une action complexe à 5d6. On peut faire les mêmes calculs que précédemment, les résultats sont présentés sur la figure ci-contre.

Comme précédemment, nous remarquons que plus on somme de dés, plus on se rapproche d'une courbe en cloche (théorème central limite).

Nous avons représenté sur la figure du bas la probabilité de faire moins qu'une valeur :

  • si le nombre de dés représente la difficulté et qu'il faut faire moins qu'un seuil, alors une courbe donnée représente les chances de réussite pour une difficulté donnée (nombre de dés) en fonction du score de la capacité (seuil) ;
  • si le nombre de dés représente la capacité et qu'il faut faire au-delà d'un seuil, alors une courbe correspond aux probabilités d'échec pour une capacité fixée (nombre de dés) en fonction de la difficulté (seuil).
Probabilité de dépasser un score donné avec nd6

Nous représentons ci-dessous les résultats d'une manière différente : on regarde l'évolution de la probabilité de dépasser un seuil donné en fonction du nombre de dés ; le seuil est le nombre indiqué à côté de la courbe. Chaque courbe représente les chances de réussite d'une action de difficulté donnée (le seuil est fixé) en fonction de la puissance du personnage (nombre de dés).

Par exemple, le score « 1 » ne peut s'obtenir qu'avec 1d6, et l'on fait obligatoirement 1 ou plus ; « 1 » est donc représenté par un point unique (1d6, 100 %) de couleur bleu marine. La probabilité de faire 6 ou plus passe de 16,67 % avec 1d6 à 99,99 % avec 5d6 (courbe marron). Un seuil de 18 ne peut pas être atteint avec 1 ou 2d6 ; les probabilités de réussite passent de 0,46 % avec 3d6 à 50 % avec 5d6 (courbe bleu ciel).

Un dé parmi n

probabilité de dépasser un seuil donné avec 1d6 parmi n

Dans certains jeux (Shadowrun, jeux du Monde des ténèbres, comme Vampire : la Mascarade), la capacité à réussir l'action est également exprimée par un nombre de dés, mais on ne fait pas la somme des dés : on fixe un seuil dans la gamme de valeurs d'un dé (par exemple entre 1 et 6 pour des d6), et l'action est réussie si au moins un dé atteint ou dépasse cette valeur. Bien évidemment, plus le joueur jette de dés, plus il a de chance de réussir au moins un jet.

Dans certains cas, le nombre de dés dépassant le seuil donne la qualité de la réussite.

On voit qu'avec ce système, les personnages puissants (ayant un grand nombre de dés) sont surtout favorisés pour les hauts seuils : ils n'ont pas tellement plus de chance de réussir les actions faciles que les personnages faibles, mais réussissent bien mieux les actions difficiles.

Probabilité d'avoir une valeur en choisissant la plus haute parmi avec deux dés différents

Dans certains jeux (par exemple Usagi Yojimbo), on jette deux ou plusieurs dés pouvant être différents (par exemple 1d4 et 1d6), et on ne retient que la plus haute valeur. Si les deux dés sont identiques (même nombre de faces n), il y a n² combinaisons possibles :

  • la valeur « 1 » n'a qu'une seule chance de sortir (1 et 1), soit une probabilité 1/n 2 ;
  • la valeur la plus haute n a 2n-1 possibilités de sortir (un des dés est indique n, l'autre peut prendre toutes les valeurs possibles), la probabilité est donc (2n-1)/n 2 ;
  • entre ces deux valeurs, la probabilité croît linéairement (pour une valeur i, un des dés doit avoir la valeur i et l'autre une valeur inférieure ou égale à i).

Si les dés n'ont pas le même nombre de faces, n1 et n2 (n1 < n2) :

  • de 1 à n1, on a comme ci-dessus un comportement linéairement croissant ;
  • entre n1+1 et n2, seul compte le score du dé ayant le plus de faces, on a donc une probabilité uniforme valant 1/n2.
Probabilité de dépasser un score en choisissant le meilleur dé parmi deux.

La probabilité d'atteindre ou de dépasser un score est la somme des probabilités pour les valeurs supérieures ou égalees à ce score. On a donc logiquement (intégrales classiques en mathématiques) :

  • une branche de parabole sur la partie où la probabilité croît linéairement :
  • un segment de droite sur la partie où la probabilité est constante ;
  • une rupture de pente entre les deux, correspondant à la discontinuité dans la progression des probabilités.
Probabilité de faire un score (haut) ou de dépasser un score e choisissant le meilleur dé parmi trois (identiques ou différents).

La figure ci-contre montre les probabilités lorsque l'on a trois dés, pouvant être différents.

On peut classer les combinaisons de dé par ordre de moyenne croissante.

Jeux n'utilisant pas de dés[modifier | modifier le code]

Il existe quelques rares jeux de rôle n'utilisant pas de dés. On peut citer Prince Valiant, qui utilise des pièces de monnaies (pile ou face), ou encore Ambre, qui se joue sans aucun recours au hasard chiffré (ni dés, ni cartes, ni pièces). Dans ce dernier cas, on se contente de comparer les traits : « le plus fort gagne », ou bien, en cas d'égalité trop sensible, c'est le plus rusé qui l'emporte.

Il y a aussi des jeux qui n'utilisent pas de dés, mais qui les remplacent par des cartes à jouer ; si les probabilités en sont changées, le mécanisme n'est pas fondamentalement différent. La plus grosse différence est que, souvent, le joueur peut décider de la carte qu'il joue selon ce qu'il a en main, ce qui lui donne plus de contrôle sur la destinée de son personnage. Les jeux les plus renommés dans cette catégorie sont Château Falkenstein et Miles Christi. Deadlands et les jeux qui en sont issus (la gamme Savage Worlds) mêlent dés et cartes.

Certains jeux utilisent des cartes de tarot, notamment Ambre et Chimères ; servant avant tout d'aides à la créativité, elles peuvent aussi partiellement remplacer les dés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dans le cas des Défis fantastiques, le test est réussi si le jet est inférieur ou égal (≤) à la valeur, ta,dis que dans SimulacreS, le jet doit être strictement inférieur (<). La table dconsidère une inégalité large (≤), il suffit de décaler d'une ligne les pourcentages dans le cas d'une inégalité stricte (<).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]