Jauge de déformation

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Jauge de déformation.

Le but des extensomètres à fils résistants ou jauges de déformation (strain gauge) est de traduire la déformation d'une pièce en variation de résistance électrique (plus les extensomètres s'étirent, plus leurs résistances augmentent). Elles consistent en des spires rapprochées et sont généralement fabriquées à partir d'une mince feuille métallique (quelques µm d'épaisseur) et d'un isolant électrique, que l'on traite comme un circuit imprimé (par lithographie ou par attaque à l'acide).

Présentation de la relation contrainte-déformation[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Essai de traction et Extensométrie.

Les jauges de déformation permettent de mesurer de faibles déformations. De fait, elle servent pratiquement uniquement dans le domaine élastique.

D'un point de vue macroscopique, on définit la déformation conventionnelle, appelée « extension » et notée e, par

e = \frac{\Delta l}{l_0}

  • l0 est la longueur initiale de la pièce, ou ici de la jauge ;
  • Δl est la variation de la longueur sous charge, Δl = (l - l0).

Cet allongement relatif est assimilé à la déformation vraie εI (« épsilon un ») ; on a en effet e ≈ εI pour les petites déformations.

Par ailleurs, le diamètre D de la pièce rétrécit, selon la loi :

εII = - νεI

avec

La contrainte, quant à elle, est une force divisée par une surface, elle est donc homogène à une pression et exprimée en pascals (Pa), ou plus fréquemment, en raison des ordres de grandeur, en mégapascals (MPa ; 1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm2). La contrainte est notée σ (« sigma ») :

\sigma = \frac{F} {S}

  • F est la force de traction ou compression ;
  • S est l'aire de la section droite.

Dans le cas d'une pièce en extension ou en compression, dans le domaine élastique, on a la loi de Hooke :

σ = E×εI

avec

  • σ : contrainte normale ;
  • εI : déformation longitudinale ;
  • E : module de Young, caractéristique du matériau pour des conditions de température et de pression données.

Pour les cas plus complexes, on ne peut pas se contenter de décrire la déformation par un scalaire ; on utilise six valeurs regroupées dans le tenseur des déformations (matrice 3×3 symétrique) :

\bar{\bar{\varepsilon}} = \begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
 & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
 & & \varepsilon_{z}
\end{pmatrix}

On utilise parfois de manière alternative γij, ij = 2εij.

De même, pour décrire les forces internes au sein du matériau, il faut utiliser six valeurs regroupées dans le tenseur des contraintes :

\bar{\bar{\sigma}} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
 & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
 & & \sigma_{z}
\end{pmatrix}

les deux étant reliés, dans le domaine élastique, par la loi de Hooke généralisée :

\bar{\bar{\sigma}} = \mathrm{} \cdot \bar{\bar{\varepsilon}}

où C est le tenseur des coefficients élastiques, contenant 36 coefficients. Dans le cas d'un matériau isotrope linéaire, on peut se contenter de deux coefficients, par exemple E et ν (voir plus loin la section Calcul des contraintes ).

Exploitation des résultats[modifier | modifier le code]

Rosette rectangulaire (à 45°).
Rosette équiangulaire (à 60°).

On associe en général trois jauges pour former une rosette. On a donc, au point considéré, la donnée de trois extensions e1, e2 et e3, et l'on veut en déduire le tenseur des contraintes (symétrique) :

[\sigma] = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
 & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
 & & \sigma_{zz} \\
\end{pmatrix}

On remarque immédiatement que les trois directions de la rosette sont sur un même plan, donc que l'on ne peut avoir accès qu'aux déformations dans ce plan. Par ailleurs, la jauge étant collée sur une surface libre, les contraintes normales à cette surface sont nulles.

Supposons que la surface libre soit le plan (x, y ), l'axe z étant normal à ce point. On est donc dans un état de contraintes planes dans le plan (x, y ), soit

[\sigma] = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\
 & \sigma_{yy} & 0 \\
 & & 0 \\
\end{pmatrix}.

Les axes des jauges de la rosette sont notés x1, x2 et x3, faisant respectivement un angle θ1, θ2 et θ3 avec l'axe x. La rosette indique trois extensions ε1, ε2 et ε3, que l'on peut relier au tenseur des déformations par[1] :

\left \{ \begin{align}
\varepsilon_1 =\ & \varepsilon_{xx} \cos^2 \theta_1 + \varepsilon_{yy} \sin^2 \theta_1 + \gamma_{xy} \sin \theta_1 \cos \theta_1 \\
\varepsilon_2 =\ & \varepsilon_{xx} \cos^2 \theta_2 + \varepsilon_{yy} \sin^2 \theta_2 + \gamma_{xy} \sin \theta_2 \cos \theta_2 \\
\varepsilon_3 =\ & \varepsilon_{xx} \cos^2 \theta_3 + \varepsilon_{yy} \sin^2 \theta_3 + \gamma_{xy} \sin \theta_3 \cos \theta_3 \\
\end{align} \right .

  • εxx et εyy sont les extensions selon les axes x et y ;
  • γxy est l'angle de glissement (variation de l'angle droit), γxy = 2εxy.

Résolution du système d'équations[modifier | modifier le code]

On utilise des valeurs conventionnelles pour les angles, ce qui simplifie les équations. Les rosettes dites « équiangulaires » ont des angles à 60 ou 120°. Si l'on pose θ1 = -60°, θ2 = 0 (alignée sur l'axe x) et θ3 = +60°, on a :

\left \{ \begin{align}
\varepsilon_{xx} =\ & \varepsilon_2 \\
\varepsilon_{yy} =\ & \frac{1}{3}(2 \varepsilon_1 + 2 \varepsilon_3 - \varepsilon_2) \\
\gamma_{xy} =\ & \frac{2}{\sqrt{3}}(\varepsilon_3 - \varepsilon_1) \\
\end{align} \right .

La première direction principale fait un angle θp avec l'axe des x, donné par :

\tan(2 \theta_\mathrm{p}) = \frac{\sqrt{3}(\varepsilon_3 - \varepsilon_1)}{2\varepsilon_2 - \varepsilon_1 - \varepsilon_3}

Les rosettes dites « rectangulaires » ont des angles à 45°. Si l'on pose θ1 = 0 (alignée sur l'axe x), θ2 = 45° et θ3 = +90° (alignée sur l'axe y), on a :

\left \{ \begin{align}
\varepsilon_{xx} =\ & \varepsilon_1 \\
\varepsilon_{yy} =\ & \varepsilon_3 \\
\gamma_{xy} =\ & 2 \varepsilon_2 - (\varepsilon_1 + \varepsilon_3) \\
\end{align} \right .

La direction principale est déterminée ici par :

\tan(2 \theta_\mathrm{p}) = \frac{2 \varepsilon_2 - (\varepsilon_1 + \varepsilon_3)}{\varepsilon_1 - \varepsilon_3}

Dans les deux cas, l'abscisse du centre du cercle de Mohr vaut

C = \frac{\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy}}{2}

et son rayon vaut

R = \sqrt{ \left ( \frac{\varepsilon_{xx} - \varepsilon_{yy}}{2} \right )^2 + \left ( \frac{\gamma_{xy}}{2} \right )^2}

les déformations principales valent donc :

\left \{ \begin{align}
\varepsilon_{\mathrm{I}} =\ & C + R \\
\varepsilon_{\mathrm{II}} =\ & C - R \\
\end{align} \right .

Tracé du cercle de Mohr[modifier | modifier le code]

Cercle de Mohr pour une rosette à 60°.

Le cercle de Mohr des déformations fournit une solution graphique à ce problème. La rosette nous donne trois valeurs, ε1, ε2 et ε3 qui sont les abscisses de trois points du cercle. Pour tracer le cercle, il faut déterminer la position du centre ; à partir de là, on peut déterminer :

  • l'angle de glissement γxy, qui est l'ordonnée du point situé à l'abscisse εxx = ε1 ou ε2 (selon la jauge qui est alignée avec l'axe des x) ;
  • la première direction principale, grâce à l'angle 2θp que fait le point (εxx, ½γxy) avec l'axe horizontal.

Dans le cas d'une rosette équiangulaire (à 60 ou 120°), on sait que les points sont espacés de 120° sur le cercle, ils forment n triangle équilatéral. Donc, l'abscisse du centre du cercle est la moyenne des trois valeurs :

ε0 = 1/31 + ε2 + ε3).
Cercle de Mohr pour une rosette à 45°.

Dans le cas d'une rosette rectangulaire (à 45°), on sait que les points 1 et 3 sont diamétralement opposés sur le cercle. Donc, l'abscisse du centre du cercle est la moyenne des deux valeurs :

ε0 = 1/21 + ε3).

Dans les deux cas, les valeurs des déformations principales εI et εII sont données par l'intersection du cercle avec l'axe horizontal ε.

Calcul des contraintes[modifier | modifier le code]

Le calcul des contraintes fait intervenir la loi de Hooke généralisée.

Dans le cas d'un matériau isotrope, on a :

\varepsilon_{zz} = \frac{\nu (\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy})}{\nu - 1}

(on est dans un état de contraintes planes, mais pas de déformations planes). Puis :

\left \{ \begin{align}
\sigma_{xx} =\ & \frac{E}{1 - \nu^2}(\varepsilon_{xx} + \nu \varepsilon_{yy}) \\
\sigma_{yy} =\ & \frac{E}{1 - \nu^2}(\varepsilon_{yy} + \nu \varepsilon_{xx}) \\
\tau_{xy} =\ & G \gamma_{xy} \\
\end{align} \right .

avec

qui sont les coefficients d'élasticité du matériau.

Les directions principales des contraintes sont les mêmes que pour les déformations. On a :

\varepsilon_{\mathrm{III}} = \frac{\nu (\varepsilon_{\mathrm{I}} + \varepsilon_{\mathrm{II}})}{\nu - 1}

puis :

\left \{ \begin{align}
\sigma_{\mathrm{I}} =\ & \frac{E}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \left ( (1-\nu)\varepsilon_{\mathrm{I}} + \nu (\varepsilon_{\mathrm{II}} + \varepsilon_{\mathrm{III}} ) \right ) \\
\sigma_{\mathrm{II}} =\ & \frac{E}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \left ( (1-\nu)\varepsilon_{\mathrm{II}} + \nu (\varepsilon_{\mathrm{I}} + \varepsilon_{\mathrm{III}} ) \right ) \\
\sigma_{\mathrm{III}} =\ & 0 \\
\end{align} \right .

Mesure[modifier | modifier le code]

Piézorésistance[modifier | modifier le code]

La piézorésistance est le changement de conductibilité d'un matériau dû à une contrainte mécanique. Elle a été mise en évidence pour la première fois par Lord Kelvin en 1856.

La piézorésistance dans les semi-conducteurs a été découverte sur un cristal de silicium en 1954.

Explication[modifier | modifier le code]

Jauge contrainte section.jpg

La résistance électrique d'une jauge cylindrique est donnée par :

R = \rho \frac {l}{A} = \rho \frac {4 \cdot l}{D^2 \cdot \pi}

avec :

  • ρ, résistivité du conducteur ;
  • l sa longueur ;
  • A, l'aire de sa section ;
  • D, le diamètre de la section.

Donc après déformation de la jauge, on obtient :

\R_0 + \Delta R = (\rho + \Delta \rho)\frac {4 \left (l+ \Delta l \right)} {\left (D - \Delta D \right) ^2 \pi}.

On peut alors exprimer la variation relative de la résistance par :

\frac {\Delta R}{R_0} = k \cdot \frac {\Delta L}{L_0} = k \cdot\varepsilon_l

avec :

  • k, la sensibilité d'un appareil piézorésistant, dépend principalement du constituant de la jauge ;
  • \varepsilon _l\ = \frac{\Delta l}{l} la variation relative de longueur ;
  • R la résistance.
Piézorésistance des métaux[modifier | modifier le code]

La piézorésistance d'un capteur métallique est due au changement de géométrie dû à la contrainte mécanique. Ce facteur géométrique du capteur se représente par la variable k :

\ k = 1 + 2\nu

\nu représente le coefficient de Poisson du matériau.

 \nu =
 \frac\mbox{contraction transversale unitaire}\mbox{allongement axial unitaire}

Même si les variations sont relativement faibles, elles permettent d'utiliser ces capteurs (jauge de contrainte) sur une large gamme d'utilisation.

Piézorésistance dans les semi-conducteurs[modifier | modifier le code]

La variable k d'un semi-conducteur peut-être cent fois supérieure à celle des métaux. Les semi-conducteurs généralement utilisés sont le germanium et le silicium (amorphe ou cristallisé).

Une contrainte appliquée sur du silicium va modifier sa conductibilité pour deux raisons : sa variation géométrique mais aussi sur la conductibilité intrinsèque du matériau. Il en résulte une amplitude bien plus importante que pour des capteurs métalliques.

Piézorésistance des capteurs en silicium[modifier | modifier le code]

La piézorésistance des semi-conducteurs a été utilisée avec un grand nombre de matériaux (germanium, silicium polycristalin ou amorphe, …). Le silicium étant aujourd'hui largement utilisé dans les circuits intégrés, l'utilisation des capteurs à base de silicium est largement répandue et permet une bonne intégration des jauges de contraintes avec les circuits bipolaires ou CMOS.

Cela a permis une grande gamme d'utilisation de la piézorésistance. Beaucoup d'appareils commerciaux comme les capteurs d'accélération utilisent des capteurs en silicium.

Piézorésistance ou piézorésistor[modifier | modifier le code]

Les piézorésistances ou piézorésistors sont des résistances variables faites à partir d'un matériau piézorésistant et sont utilisées pour les jauges de contraintes, couplées avec un pont de Wheatstone.

Application à la mesure[modifier | modifier le code]

La mesure ne peut s'effectuer directement car les variations de conductibilité de la jauge sont trop faibles pour être mesurées directement avec un ohmmètre. Il est nécessaire de faire un montage en pont de Wheatstone (voir figure à droite).

Wheatstonebridge.svg

Soit un circuit constitué de quatre résistances R1, R2, R3, R4 montées en pont. On alimente par une source électromotrice  V_e suivant la diagonale AC. À l'équilibre la tension Vs est nulle mais la variation d'une quelconque des résistances fait apparaître une tension Vs entre B et D.

Pour de très faibles variations (de l'ordre du microohm pour les jauges de contrainte), la sortie Vs est proportionnelle aux variations relatives ΔR/R de chacune des résistances. En négligeant les termes d'ordres supérieurs, elle vaut :

 V_s =  \frac{V_e}{4} \left({\Delta R_1 \over R_1} -  {\Delta R_2 \over R_2} + {\Delta R_3 \over R_3} - {\Delta R_4 \over R_4} \right) .

Dans la pratique, ces résistances sont souvent d'autres jauges (une, deux ou quatre).

L'alternance des signes + et - caractérise la propriété fondamentale des ponts : deux résistances adjacentes agissent en sens opposé et deux résistances opposées agissent dans le même sens. On peut donc réduire les variations parasites (comme la température) et avoir une meilleure précision.

Un capteur à quatre jauges permet d'avoir encore une meilleure précision qu'un capteur à une jauge. Dans la pratique, le nombre de jauges est souvent dicté par la géométrie de la pièce.

On distingue trois montages différents selon le nombre de jauges mis en place.

Montage[modifier | modifier le code]

Montage en quart de pont[modifier | modifier le code]

Dans le montage en quart de pont, on ne dispose que d'une jauge et trois résistances viennent en complément avec l'électronique associée. Ce montage est le plus simple et le moins cher mais présente de nombreux inconvénients :

  • la jauge étant éloignée des autres résistances, il faut prendre en compte la résistance induite par la longueur de câble ;
  • la tension alimentant la jauge diminue de la somme des variations de tension rencontrées sur les câbles de liaison. À l’entrée de la jauge, elle est largement inférieure à celle qui sort de l’amplificateur. La sensibilité du capteur (qui varie proportionnellement à la tension d’alimentation) s’en trouve alors amoindrie ;
  • la résistance du câblage ajoute également une atténuation du signal et donc une perte d'information. Par exemple, un câble de 100 m conduit à une variation de 10 %.

Des corrections sont indispensables à ce type de montage tel que l'étalonnage « shunt » du système de mesures.

Montage en demi-pont[modifier | modifier le code]

Le montage demi-pont est couramment utilisé lorsque l'on souhaite faire des corrections en température sur matériaux à mesurer. Il est aussi utilisé pour supprimer la composante de traction (ou compression) lors de mesures de flexion.

Montage en pont complet[modifier | modifier le code]

Soit le fil spiralé de longueur L, de diamètre d, de section S et de résistance R.
Donc les variations relatives de la résistance s'écrivent :

Constituant de la jauge[modifier | modifier le code]

Selon son utilisation (environnement, précision…), différents matériaux peuvent être utilisés.

Le corps d'épreuve[modifier | modifier le code]

Le corps d'épreuve est la partie qui subira les déformations. Il est donc préférable d'utiliser un matériau facilement déformable afin d'obtenir un signal de forte amplitude. Il faut également éviter de sortir de la gamme de déformation élastique de celui-ci pour éviter tout risque de déformation permanente.

Certain aciers alliés (E4340 par exemple) donnent une bonne précision et une excellente résistance à la fatigue mais doivent être protégés de la corrosion alors qu'un acier inoxydable n'a pas ce problème mais est moins homogène et donc moins précis. Il est également possible d'utiliser des capteurs en aluminium pour des capteurs de faibles capacités.

Le support[modifier | modifier le code]

Le support fait le lien entre le corps d'épreuve et la pièce déformée. Il doit donc répondre à des caractéristiques bien spécifiques : déformation facile, bonne aptitude au collage et un coefficient de variation relativement faible. On peut ici utiliser des résines époxyde ou des polyimides.

La colle[modifier | modifier le code]

Elle réalise la liaison entre le support de la jauge et le corps d'épreuve. Elle a également le rôle d'isolant. La colle est choisie en fonction du support.

La jauge[modifier | modifier le code]

Le matériau composant les jauges doit avoir une bonne résistance à la fatigue, une aptitude au soudage et une bonne tenue en température. On utilise les matériaux suivants :

  • constantan (alliage 55 % Cu, 45 % Ni), couramment utilisé. Il supporte des températures de 200 °C ;
  • Karma (alliage 74 % Ni, 20 % Cr, 3 % Cu, 3 % Fe), meilleure sensibilité et peut être utilisé jusqu'à 350 °C ;
  • platine - tungstène (92 % Pt, 8 % W), plus cher mais présente une meilleure résistance à la fatigue. Il reste donc pour des utilisations spécifiques ;
  • semi-conducteurs (silicium). Ils ont une sensibilité bien meilleure (50 à 100 fois plus) mais ont une moins bonne linéarité et sont plus sensibles aux variations de température.
  • nanoparticules d'or. Ces jauges combinent un facteur de jauge important, une large plage de déformation et une faible consommation électrique en raison de leur forte impédance.

Effets parasites[modifier | modifier le code]

Température[modifier | modifier le code]

D'une part, la dilatation différentielle entre jauge et support, d'autre part, les effets thermoélectriques liés à un écart de température entre deux points de raccordement (on peut éliminer ce problème en alimentant les jauges en alternatif).

Pour minimiser l'influence de la température, on peut utiliser une configuration en double pont. Une jauge active, soumise à la déformation et aux variations de température, et une jauge passive soumise uniquement aux variations de température.

En pratique, pour corriger les dérives de pente (sensibilité) en température, on place dans les deux branches d'alimentation une résistance en Nickel pur. Ces résistances vont modifier la tension d'alimentation aux bornes du pont de manière à compenser la dérive thermique.

La dérive du signal à vide est un autre phénomène lié à la température (sans contrainte mécanique sur le corps d'épreuve). Cette dérive est aléatoire et est intrinsèque au pont de jauges. La correction se fait sur une branche du pont (dépendant du sens de la dérive) par l'ajout d'un bobinage de cuivre (lui-même va occasionner une dérive contraire à celle des jauges).

Hystérésis[modifier | modifier le code]

Un capteur présente un phénomène d’hystérésis si l’information qu’il délivre est différente suivant que les mesures sont effectuées sous charge croissante ou décroissante. Cette source d’erreur est donc particulièrement gênante dans le cas de cycles de mesures avec montée et descente en charge répétées, ou en fonctionnement dynamique. L’hystérésis peut être positive ou négative. Contrairement à l’écart de linéarité, il n’est pas aussi simple de la compenser avec l’électronique de mesure. Il s’agit en effet d’une caractéristique liée aux matériaux constituant le corps d’épreuve et à la liaison corps d’épreuve-détecteur. Les aciers inoxydables, par exemple, présentent une hystérésis positive importante et des traitements thermiques sont nécessaires afin de limiter ce phénomène. On peut aussi contrôler la dureté des feuilles de constantan.

Erreur de linéarité[modifier | modifier le code]

Un capteur présente une erreur de linéarité lorsque la courbe force-signal capteur n'est pas une droite parfaite. L'erreur de linéarité d'un capteur de force dépend du design du capteur (par exemple, lorsque la force croît, la répartition des forces varie ce qui influence la linéarité), mais aussi du choix des jauges. L'erreur de linéarité est toujours à minimiser. En production de série, le capteur est calibré en passant par deux points : le zéro et la force nominale. En minimisant l'erreur de linéarité, cette calibration suffit. Si l'erreur de linéarité est importante, il est nécessaire de passer par plusieurs points intermédiaires d'étalonnages.

Fonctionnement des capteurs de force à jauges[modifier | modifier le code]

Un capteur de force est constitué de jauges de déformation identiques. Le principe étant de traduire en variation de résistance électrique la déformation du corps d’épreuve sur lequel elles sont collées.

Principe de fonctionnement des jauges[modifier | modifier le code]

Le fonctionnement des capteurs à jauges est fondé sur la variation de résistance électrique de la jauge proportionnellement à sa déformation. C’est le coefficient ou facteur de jauge k qui traduit cette proportionnalité, suivant la relation :

ΔR/R = kΔL/L

k est une constante qui dépend des matériaux considérés et de la température. Elle caractérise la sensibilité de la jauge.

Le corps d’épreuve du capteur de force[modifier | modifier le code]

Il existe différentes formes de capteurs à jauges :

  • capteurs de force en « S » pour des mesures en traction / compression ;
  • capteurs de force « pancake » pour des mesures en traction / compression ;
  • pesons de compression standard ou miniature ;
  • capteurs à moment constant ou à cisaillement utilisés pour des applications de pesage…

Matériaux utilisés[modifier | modifier le code]

En fonction du choix du matériau et de la forme du capteur, la déformation mesurée sera importante et l’amplitude du signal de sortie élevé.

Effets parasites[modifier | modifier le code]

Les variations de température. Elles entraînent deux conséquences majeures : la dilatation des matériaux et une variation de résistance des jauges.

Dérive thermique du zéro[modifier | modifier le code]

En l’absence de contrainte, la résistance augmente avec la température. Le signal même très proche de zéro, n’est pas nul. Cette dérive est aléatoire et est intrinsèque au pont de jauges.

Effet thermique sur la sensibilité[modifier | modifier le code]

L’élasticité du corps d’épreuve ainsi que le coefficient de jauge (k) dépendent de la température. Cela implique une variation de la sensibilité.

Fluage[modifier | modifier le code]

Il s’agit de la déformation du corps d’épreuve soumis à une force constante avec le temps.

Hystérésis[modifier | modifier le code]

Un capteur de force présente un phénomène d’hystérésis si l’information qu’il délivre est différente suivant que les mesures sont effectuées en traction ou en compression.

Un capteur de force présente un phénomène d’hystérésis si l’information qu’il délivre est différente en charge croissante et en charge décroissante.

Écart de linéarité[modifier | modifier le code]

L’information délivrée en sortie n’est pas toujours proportionnelle à la valeur d’entrée. Un capteur présente une erreur de linéarité lorsque la courbe force / signal du capteur n'est pas une droite parfaite.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Louis Fanchon, Guide de mécanique, Nathan,‎ 2001 (ISBN 978-2-09-178965-1), p. 427-432

Articles connexes[modifier | modifier le code]