Jauge de Lorenz

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La jauge de Lorenz est une condition que l'on peut introduire en électromagnétisme ; cette condition tient son nom du physicien danois Ludvig Lorenz (elle est souvent attribuée[1] au physicien Hendrik Lorentz, probablement en raison de son invariance sous les transformations de Lorentz). L'introduction de la condition impose un lien entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur associés aux champs électrique et magnétique ; les composantes du potentiel vecteur et le potentiel scalaire forment alors le quadrivecteur potentiel. Cette jauge particulière s'est avérée pratique, permettant une description totalement relativiste de l'électrodynamique.

Forme générale[modifier | modifier le code]

La relation définissant ce choix de jauge est la suivante :

\nabla \cdot\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell, on montre que la propagation des champs \scriptstyle \vec{E} et \scriptstyle \vec{B} dans le vide vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).

Avec ce choix de jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire V vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert :

Tout d'abord, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

\nabla \wedge \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \wedge \vec{A})

d'où \scriptstyle \nabla \wedge (\vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}) = \vec{0} ; donc \scriptstyle \vec{E} + \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} est un gradient et pour être cohérent avec l'expression en statique \scriptstyle \vec{E}=- \nabla V, il faut :

\vec{E} = - \nabla V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

L'équation de Maxwell-Gauss devient alors :

\nabla \cdot(- \nabla V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t})=0

donc \scriptstyle - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot\vec{A})-\nabla \cdot(\nabla V)=0

Il faut donc poser \scriptstyle \nabla \cdot\vec{A} = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} (c'est la jauge de Lorenz) pour avoir :

\nabla ^{2}V-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}=0

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au champ \scriptstyle \vec{A} de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

\vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\vec{A})=\vec{\mathrm{grad}}(\operatorname{div} \vec{A})- \nabla ^{2}\vec{A}

or \scriptstyle \vec{\mathrm{rot}}\vec{A}=\vec{B} alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant \scriptstyle \vec{j} est nul) :

\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{\mathrm{grad}}(\operatorname{div} \vec{A})- \nabla ^{2}\vec{A}

or on a toujours : \scriptstyle \vec{E} = - \nabla V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} donc

 \nabla ^{2}\vec{A}-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\vec{\mathrm{grad}}(\nabla \cdot\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t})

par conséquent avec la jauge de Lorenz \scriptstyle \nabla \cdot\vec{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0, \scriptstyle \vec{A} vérifie l'équation de d'Alembert :

\nabla ^{2}\vec{A}-\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial t^{2}}=\vec{0}

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs \scriptstyle \vec{E} et \scriptstyle \vec{B}.

La jauge de Coulomb[modifier | modifier le code]

Un autre choix de jauge apparaît possible ; il s'agit de la jauge de Coulomb :

\nabla \cdot\vec{A} = 0

qui mène directement à l'équation de Poisson. Cette jauge est très utilisée en physique atomique et moléculaire.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, éd. MIR, Moscou [détail des éditions].

Références[modifier | modifier le code]

Les références portant sur les jauges de Lorenz et Coulomb sont légion. Certains aspects historiques sont rapportés par les articles ci-dessous, rendant a priori pertinente l'attribution de cette jauge à Ludwig Lorenz.

  • L. Lorenz, "On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents" Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
  • Bozhidar Z. Iliev, "The “Lorenz gauge” is named in honour of Ludwig Valentin Lorenz!", 2008, arxiv.org/abs/0803.0047v1
  • Robert Nevels, and Chang-Seok Shin, "Lorenz, Lorentz, and the Gauge", IEEE Antennas and Propagatlon Magazine, Vol. 43, No, 3, June 2001.
  • J. D. Jackson, and L. B. Okun, "Historical roots of gauge invariance", Rev. Mod. Phys. 73, 663, 2001.

Articles connexes[modifier | modifier le code]