Jacques Touchard

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Touchard.

Jacques Touchard (1885 – 1968) est un mathématicien français. En 1953, il prouva que tout nombre parfait impair est de la forme 12k + 1 ou 36k + 9. Il a introduit les polynômes de Touchard (en), qui interviennent en combinatoire et en théorie des probabilités. Il est aussi connu pour avoir résolu le problème des ménages.

Identité de Touchard[modifier | modifier le code]

Les nombres de Catalan[1]

C_k={1\over{k+1}}{{2k}\choose {k}},\quad k \ge 0

sont reliés par l'identité algébrique suivante, attribuée à Touchard[réf. nécessaire] :

\forall n\in\N,\quad C_{n+1}=\sum_{k \,\le\, n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_k .

En utilisant la fonction génératrice de Catalan

C(t)=\sum_{n\ge0}C_nt^n={{1-\sqrt{1-4t}}\over {2t}} ,

on peut prouver par manipulations algébriques de séries génératrices que l'identité de Touchard est équivalente à l'équation fonctionnelle satisfaite par C :

 {t \over {1-2t}} C\left({t^2\over (1-2t)^2}\right) = C(t)-1 .

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. Les exercices 6.19 à 6.50 de (en) Richard P. Stanley, Enumerative combinatorics, vol. 2, CUP,‎ 2001, 1e éd., poche (ISBN 978-0-521-78987-5, lien LCCN?) donnent de nombreuses définitions des nombres de Catalan.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacques Touchard » (voir la liste des auteurs)