Isomorphisme d'ensembles ordonnés

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Un isomorphisme d'ensembles ordonnés ou isomorphisme d'ordres est un type particulier de fonction monotone qui définit la notion d'isomorphisme entre ensembles ordonnés. Quand deux ensembles ordonnés sont isomorphes, ils peuvent être considérés comme « équivalents », au sens ou l'ordre de l'un peut être déterminé à partir de l'ordre de l'autre par simple renommage des éléments. Deux notions voisines, plus faibles, sont l'order-embedding (en)[Traduire passage] et les correspondances de Galois

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient deux ensembles ordonnés, (S, ≤S) et (T, ≤T). Un isomorphisme d'ensembles ordonnés de (S, ≤S) vers (T, ≤T) est un order-embeddings[Traduire passage] surjectif, c'est-à-dire une surjection h : ST telle que pour tous u et v dans S,

h(u) ≤T h(v) si et seulement si uS v.

Un tel h est nécessairement injectif. Par conséquent, on peut également caractériser un isomorphisme d'ordre comme une bijection croissante dont la bijection réciproque est croissante.

On peut de plus remarquer que toute bijection croissante est ipso facto strictement croissante, et que si l'ordre de départ est total alors la bijection réciproque est automatiquement croissante.

Deux ensembles ordonnés sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un vers l'autre.

Un isomorphisme d'ordre de (S, ≤) sur lui-même est appelé « automorphisme d'ordre ».

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La fonction qui fournit l'opposé est un isomorphisme d'ordre de (R, ≤) vers l'ordre dual (R, ≥), car –x ≥ –y si et seulement si x ≤ y.
  • La fonction f(x) = x – 1 est un automorphisme d'ordre de (R, ≤), car x – 1 ≤ x – 1 si et seulement si x ≤ y.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Type d'ordre (en)