Théorie de jauge

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
(Redirigé depuis Invariance de jauge)
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Jauge.

En physique théorique, une théorie de jauge est une théorie des champs basée sur un groupe de symétrie locale, appelé groupe de jauge, définissant une « invariance de jauge ». Le prototype le plus simple de théorie de jauge est l'électrodynamique classique de Maxwell.

L'expression « invariance de jauge » a été introduite en 1918 par le mathématicien et physicien Hermann Weyl.

Description mathématique[modifier | modifier le code]

On considère un espace-temps classique modélisé par une variété différentielle lorentzienne à quatre dimensions, pas nécessairement courbe.

Champs de jauge et espaces fibrés[modifier | modifier le code]

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace fibré différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension plus grande que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'espace de base du fibré.

On considère plus précisément un fibré principal, dont la fibre s'identifie au groupe de structure qui est un groupe de Lie précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ».

Un champ de jauge A y apparaît comme une connexion, et la forme de Yang-Mills associée F = dA comme la courbure associée à cette connexion.

Quelques groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Principaux groupes de Lie[modifier | modifier le code]

  • O(n) est le groupe orthogonal sur ℝ d'ordre n, i.e. le groupe multiplicatif des matrices n × n réelles orthogonales (vérifiant tMM = In).
  • SO(n) est le groupe spécial orthogonal sur ℝ d'ordre n, i.e. le groupe multiplicatif des matrices n × n réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 (tMM = In et det M = 1).
  • U(n) est le groupe unitaire sur ℂ d'ordre n, i.e. le groupe multiplicatif des matrices n × n complexes unitaires (vérifiant M*M = In).
  • SU(n) est le groupe spécial unitaire sur ℂ d'ordre n, i.e. le groupe multiplicatif des matrices n × n complexes unitaires et de déterminant égal à 1 (M*M = In et det M = 1).

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • O(1) = {1, -1}
  • SO(1) = {1}.
  • U(1) est le cercle unité complexe. Il est égal à \exp(i\mathbb{R})
  • SO(2) est isomorphe à U(1) : c'est l'ensemble des rotations du plan laissant 0 invariant.
  • SO(3) est l'ensemble des rotations de l'espace à 3 dimensions.

Exemples physiques[modifier | modifier le code]

Ont été démontrées pertinentes pour le monde réel :

  • la théorie de jauge classique U(1), qui s'identifie à la théorie électromagnétique de Maxwell. C'est une théorie abélienne, qui admet des extensions non-abéliennes intéressantes appelées théories de Yang-Mills, basées sur les groupes non-abéliens SU(n).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Bibliothèque virtuelle[modifier | modifier le code]

Bertrand Delamotte, Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations et groupe de Poincaré, cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Energies, Université Paris 7) au D.E.A. "Champs, Particules, Matières" , 127 pages

Aspects historiques[modifier | modifier le code]

  • (en) John D. Jackson et L. B. Okun, « Historical roots of gauge invariance », dans Review of Modern Physics 73 (2001), 663-680, texte intégral sur arXiv:hep-ph/0012061
  • (en) Lochlainn O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997 (ISBN 0-691-02977-6)
  • (en) Tian Yu Cao, Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-63420-2)

Ouvrage d'introduction à la théorie quantique des champs[modifier | modifier le code]

Michel Le Bellac, Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Éditions du CNRS, 1988 (ISBN 2-86883-359-4), réédité par E.D.P. Sciences

Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens[modifier | modifier le code]

Ouvrages de physique pour mathématiciens[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]


Liens externes[modifier | modifier le code]

  • Dans sa chronique "le monde selon..." du 26/06/2014, diffusée sur france culture à 7h18, le physicien Étienne Klein fait référence à l'invariance de jauge, prenant pour illustration la trajectoire courbe d'un ballon de football lors d'un coup franc.