Transversalité

En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangence.

Deux sous-espaces vectoriels $F$, $G$ d'un espace vectoriel $E$ sont dits transverses quand $F+G=E$. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

$\operatorname{codim}(F) + \operatorname{codim}(G)=\operatorname{codim} (F\cap G)$.

Deux sous-espaces affines $Y$, $Z$ d'un espace affine $X$ sont dites transverses si leurs directions sont transverses, c'est-à-dire si

$\overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}$.

Deux sous-variétés $M$ et $N$ d'une variété différentielle $P$ sont dits transverses lorsque, pour tout point $x$ de $M\cap N$, les espaces tangents $\displaystyle T_xM$ et $\displaystyle T_xN$ sont transverses dans l'espace tangent $\displaystyle T_xP$, c'est-à-dire si

$\displaystyle T_xP=T_xM + T_xN$

Dans la suite, $m,n,p$ désignent les dimensions respectives de $M,N,P$.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si $m+n<p$, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée seulement si les sous-variétés $M$ et $N$ sont disjointes.

Théorème — Une intersection transverse et non vide $M\cap N$ est une sous-variété différentielle de dimension $m+n-p$.

On a donc dans ce cas les relations

$\operatorname{dim} (M\cap N) = \operatorname{dim}(M) + \operatorname{dim}(N)-\operatorname{dim}(P).$ $\operatorname{codim} (M\cap N) = \operatorname{codim}(M) + \operatorname{codim}(N).$

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

Nombre d'intersection

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Généricité

Théorème — Si $M$ et $N$ sont deux sous-variétés de classe $C^k$ ($\scriptstyle k\geq 1$) de dimensions respectives $m$ et $n$, alors il existe un $C^k$-difféomorphisme $h$ de $P$, aussi proche de l'identité que souhaité en topologie $C^k$, tel que $h(M)$ intersecte transversalement $N$.

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.