Intégration des fonctions réciproques

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L'intégration de la fonction réciproque f −1 d'une bijection f peut être effectuée au moyen d'une formule mathématique mettant seulement en jeu la bijection réciproque f −1 et une primitive de f.

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Soit I1 et I2 deux intervalles de . Supposons que f : I1I2 est une bijection continue et soit f −1 : I2I1 sa bijection réciproque (on démontre que f −1 est également continue, donc f et f −1 admettent des primitives). Si F désigne une primitive de f, les primitives de f −1 sont de la forme


\int f^{-1}(y)\,{\rm d}y=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))+C^{te}.

Preuves[modifier | modifier le code]

Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque (cf. ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en f et f −1. La première méthode s'adapte au cas où f −1 est seulement absolument continue[4]. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des intégrales de Stieltjes[4].

Exemples[modifier | modifier le code]

  1. Supposons que f(x)=\exp(x), donc f^{-1}(y)=\ln(y). La formule ci-dessus implique immédiatement\int \ln(y){\rm d}y=y\ln(y)-y+C.
  2. De même, avec f(x)=\cos(x) et f^{-1}(y)=\arccos(y), il vient\int \arccos(y){\rm d}y=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C=y\arccos(y)-\sqrt{1-y^2}+C.
  3. Avec  f(x) = \tan(x) et  f^{-1}(y)=\arctan(y), il vient\int \arctan(y){\rm d}y=y\arctan(y)+\ln|\cos(\arctan(y))| + C=y\arctan(y)-\frac12\ln(1+y^2) + C.

Historique[modifier | modifier le code]

Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en terme d'aire, et d'une démonstration supposant f −1 dérivable, fut publié en 1905 par Charles-Ange Laisant[1], qui la jugeait « d'une telle simplicité qu'[il avait] peine à croire nouvelle [cette] règle », mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli[7].

Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement. En 1955, F. D. Parker souligne son intérêt pour les premières années universitaires et en donne plusieurs applications[8]. Dans son Calculus de 1967, Michael Spivak (en) propose en exercice les trois premières preuves ci-dessus, en détaillant la troisième (par les sommes de Darboux), qui traite le cas général. Dans un article de 1994[6], Eric Key rédige cette démonstration, qui souligne l'adéquation dans ce cas de la définition formelle de l'intégrale à l'intuition géométrique donnée par l'aire et insiste sur l'intérêt du théorème en s'appuyant sur Parker.

Analogue pour les fonctions holomorphes[modifier | modifier le code]

Pour les fonctions holomorphes, on démontre la même formule par la première des preuves ci-dessus (transcrite en termes de différentiation complexe) :

Soient U et V deux ouverts simplement connexes du plan complexe. Supposons que f : UV est un biholomorphisme, c'est-à-dire une bijection holomorphe dont la réciproque est holomorphe (f et f −1 admettent donc des primitives). Si F désigne une primitive de f, les primitives de f −1 sont de la forme

G(z)=zf^{-1}(z)-F(f^{-1}(z))+C^{te}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c C.-A. Laisant, « Intégration des fonctions inverses », Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, vol. 5, no 4,‎ 1905, p. 253-257 (lire en ligne).
  2. (en) Michael Spivak, Calculus,‎ 1967, chap. 12 (« Inverse Functions »), p. 212.
  3. Spivak 1967, chap. 18, (« Integration in Elementary Terms »), p. 326.
  4. a et b (en) M. Bensimhoun, « On the antiderivative of inverse functions », arXiv,‎ 2013 (arXiv 1312.3839).
  5. a et b Spivak 1967, chap. 13, (« Integrals »), p. 235 et p. 273 de la réédition de 2006.
  6. a, b et c (en) E. Key, « Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions », The College Mathematics Journal (en), vol. 25, no 2,‎ mars 1994, p. 136-138 (DOI 10.2307/2687137, lire en ligne).
  7. (it) Alberto Caprilli, Nuove formole d'integrazione,‎ 1912, 178 p. (lire en ligne).
  8. (en) F. D. Parker, « Integrals of inverse functions », The American Mathematical Monthly, vol. 62, no 6,‎ Jun. and Jul. 1955, p. 439–440 (DOI 10.2307/2307006), publié comme « Classroom notes ».
  • (en) Elena Anne Marchisotto et Gholam-Ali Zakeri, « An invitation to Integration in finite terms », The College Mathematics Journal, vol. 25, no 4,‎ septembre 1994, p. 295-308 (DOI 10.2307/2687614, lire en ligne)
  • (en) Richard Courant, Differential & Integral Calculus, vol. 1,‎ 1937, 2e éd. (1re éd. 1934) (lire en ligne), p. 219
  • (en) J. H. Staib, « The Integration of Inverse Functions », Mathematics Magazine, vol. 39, no 4,‎ septembre 1966, p. 223-224 (DOI 10.2307/2688087)