Intégrales de Borwein

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En mathématiques, les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein (en) et Jonathan Borwein (en) en 2001, sont des intégrales mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, donnée par sinc(x) = sin(x)/x. Ces intégrales présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,



\begin{align}

& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx=\pi/2 \\[10pt]

& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi/2 \\[10pt]

& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi/2

\end{align}

Ce schéma continue jusqu'à

\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \pi/2

Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat[1]



\begin{align}

\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx

 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\

 &= \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\

 &\simeq \frac{\pi}{2} - 2.31\times 10^{-11}

\end{align}

Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur π/2 chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1, mais 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Le site de MathOverflow mentionne ces intégrales (en) comme ayant fait craindre une erreur dans un système de calcul formel, jusqu'à ce que les programmeurs réalisent que le résultat était correct.

Références[modifier | modifier le code]


  • (en) David Borwein et Jonathan M. Borwein, Some remarkable properties of sinc and related integrals, vol. 5,‎ 2001, 73–89 p. (ISSN 1382-4090, lien DOI?, lire en ligne)