Intégrale de Fresnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l'analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Pour les articles homonymes, voir Fresnel.

L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

[modifier] Formule de Fresnel

$\int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\;\mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\;\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :

$\int_{0}^{+\infty} e^{\pm i x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \cos(x^2)\mathrm{d}x \pm i \int_{0}^{+\infty} \sin(x^2)\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}( 1 \pm i ) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{\pm i\frac{\pi}{4}}$

[modifier] Calcul de l'intégrale de Fresnel

Considérons pour tout réel $t$ la fonction de ℝ⁺ dans ℂ définie par

$u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ .

Cette fonction est intégrable puisqu'étant continue sur ℝ⁺ et, avec $Re( - (u 2 + i)) < 0$ , négligeable au voisinage de +∞ devant $u\mapsto\displaystyle\tfrac{1}{u^2}$ .

Il est donc possible de poser $f$ , la fonction définie pour tout $t$ par l'intégrale à paramètre suivante :

$f(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}}{u^2+i}\,\mathrm{d}u$

On montre que f est de classe $C 1$ sur $ℝ +*$ et que

$\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u$

Démonstration

Pour tout $t > 0$ , la fonction $\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ est continue par morceaux et intégrable.
Pour tout {{u ∈ ℝ⁺}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\over u^2+i}$ est dérivable et de dérivée $f'(t) = - 2 t exp( - (u 2 + i) t 2)$
Pour tout {{u ∈ ℝ⁺}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ t\mapsto {-2\,t}\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}$ est continue par morceaux et intégrable
Pour tout {{t ∈ ℝ^+*}}, la fonction $\R^{+*}\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {-2\,t}\exp {[-(u^2+i)\,t^2]}$ est continue
Condition de domination : confinons le paramètre $u$ au compact {{[a,b] ⊂ ℝ^+*}} (donc $a > 0$ ). Exhibons $\varphi$ , une fonction continue par morceaux et intégrable sur ℝ⁺ vérifiant $\forall (t,u)\in\R^{+*}\times\R,\,\left|{-2\,t}\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,t^2}\right|\le \varphi(t)$ . $\varphi(t)= 2\,t\mathrm{e}^{-(a^2+i)\,t^2}$ convient.

Conclusion : f est de classe $C 1$ sur {{math|ℝ^+*}} et

$\forall t\in\R^{+*},\,f'(t)=-2t\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2\,t^2}\mathrm{d}u$

En opérant un changement de variable linéaire par la fonction $ℝ + \to ℝ +, u \mapsto u\cdott = v$ , on aboutit immédiatement à, pour tout $t \in ℝ +*$ :

$f'(t)=-2\mathrm{e}^{-it^2}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-v^2}\,\mathrm{d}v$

L'intégrale définie est ici bien connue (voir l'article sur l'intégrale de Gauss) et vaut $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ . Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de $f$ : $f'(t)=-\sqrt{\pi}\mathrm{e}^{-it^2}$ .

L'application du théorème de convergence dominée permet de montrer que $\textstyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0$ Considérons la suite de fonctions $(f n)$ définie par :

$\forall n\in\N,\,f_n:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto {\mathrm{e}^{-(u^2+i)\,\lambda_n^2}\over u^2+i}$

où $(λ n)$ est une suite réelle croissante de limite +∞. Montrons que

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(u)\,\mathrm{d}u=0$

c'est-à-dire que, d'après la caractérisation séquentielle des limites :

$\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$ .

Nous savons d'ores et déjà que $(f n)$ converge simplement vers

$g:\R^+\rightarrow\mathbb C,\ u\mapsto 0$ .

Par conséquent, de l'expression de $f'$ , on déduit en intégrant sur ℝ⁺ (fonctions intégrables) :

$\sqrt{\pi}\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = f(0)$

D'autre part,

$f(0)=\int_0^{+\infty}{1\over u^2+i}\,\mathrm{d}u$ .

On se sert alors d'une intégrale classique :

$\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}\,\mathrm{d}u=\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}\,\mathrm{d}u$

et de l'expression $\tfrac1{u^2+i}$ sous la forme $\tfrac{u^2-i}{u^4+1}$ pour en déduire que

$\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t = {\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i)$ .

Il reste à prendre la partie réelle (respectivement la partie imaginaire) pour conclure que :

$\Re \mathfrak{e}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\cos(-x^2)\,\mathrm{d}x=\Re \mathfrak{e}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= {\sqrt{2\pi}\over 4} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

(respectivement que

$\Im \mathfrak{m}\left(\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-it^2}\,\mathrm{d}t\right) = \int_{0}^{+\infty}\sin(-x^2)\,\mathrm{d}x=-\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\,\mathrm{d}x$ $=\Im \mathfrak{m}\left({\sqrt{2\pi}\over 4}\,(1-i) \right)= -{\sqrt{2\pi}\over 4} = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$

).

[modifier] Autre calcul possible

Il est aussi possible d'intégrer $f (z) = exp( - z 2)$ sur les bornes du triangle $T R$ de sommets $0, ~R, ~(1+i)~ R$ puis de faire tendre R vers l'infini.

Intégrale de Fresnel

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

[modifier] Formule de Fresnel

[modifier] Calcul de l'intégrale de Fresnel

[modifier] Autre calcul possible

Affichages

Outils personnels

Rechercher

Navigation

Contribuer

Créer un livre

Boîte à outils

Autres langues