Intégrale de Fresnel

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L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de Fresnel[modifier | modifier le code]

Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées
\int_0^{+\infty}\cos(x^2)~\mathrm dx=\int_0^{+\infty} \sin(x^2)~\mathrm dx=\frac12\sqrt{\frac{\pi}2}.

On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :


\int_0^{+\infty}\mathrm e^{\pm\mathrm ix^2}\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\cos(x^2)\mathrm dx~\pm~\mathrm i\int_0^{+\infty}\sin(x^2)\mathrm dx= \frac12\sqrt{\frac{\pi}2}(1\pm\mathrm i)=\frac{\sqrt{\pi}}2\mathrm e^{\pm\mathrm i\frac{\pi}4}.

Convergence de l'intégrale[modifier | modifier le code]

La convergence de l'intégrale de Fresnel se montre par intégration par parties.

Soient a et b tel que 0<a<b. Posons

\forall x\in[a,b],~u(x)=\frac1x et
\forall x\in[a,b],~v'(x)=x\sin(x^2).

On choisit v(x)=\frac{1-\cos(x^2)}2.

Dès lors,

\int_a^b \sin(x^2)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}\right]_a^b+\int_a^b \dfrac{1-\cos(x^2)}{2x^2}\,\mathrm{d}x

Pour le premier terme,

\lim_{a\to 0}\left(\lim_{b\to +\infty} \left[\dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}\right]_a^b \right)=-\lim_{a\to 0}\dfrac{1-\cos(a^2)}{2a}=0

car 1-\cos(a^2)\underset{a\to 0}{\sim} \dfrac{a^4}{2} .

Concernant le deuxième terme, la fonction f:x\mapsto \dfrac{1-\cos(x^2)}{2x^2} est continue sur [a,b] donc intégrable sur [a,b]. De plus,

f(x) \underset{x\to 0}{\sim} \dfrac{x^2}{4} qui est intégrable en 0 et
f(x) \underset{+\infty}{=} o\left(\dfrac{1}{x^{3/2}}\right) donc f est aussi intégrable en +∞ d'après le critère de Riemann.

Finalement, f est intégrable sur [0,+\infty[ donc l'intégrale de Fresnel converge.

La convergence de \int_0^{+\infty} \cos(x^2) se montre de la même manière en choisissant x\mapsto \dfrac{\sin(x^2)}{2} comme primitive de x\mapsto x\cos(x^2) pour l'intégration par parties.

Définition[modifier | modifier le code]

Les fonctions S(x) et C(x) normalisées

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument \frac{\pi}{2}t^2 dans les intégrales définissant S(x) et C(x). Les intégrales sont alors multipliées par \sqrt{\frac{2}{\pi}} et les intégrandes sont divisés par x.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.

Calcul de l'intégrale de Fresnel[modifier | modifier le code]

Par une intégrale à paramètre[modifier | modifier le code]

Considérons pour tout réel t la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par

u\mapsto {\mathrm e^{-(u^2+i)t^2}\over u^2+i}.

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par u\mapsto\displaystyle\tfrac1{u^2}, qui est intégrable en +∞.

Il est donc possible de poser f, la fonction définie pour tout t par l'intégrale à paramètre suivante :

f(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-(u^2+i)t^2}}{u^2+i}~\mathrm du.

On montre que f est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+* avec

\forall t\in\R^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm e^{-it^2}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u^2t^2}\mathrm du.

En simplifiant l'expression de f'~ et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que

\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-it^2}~\mathrm dt=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty}\frac1{u^2+i}~\mathrm du.

On se sert alors d'une intégrale classique :

\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}~\mathrm du=\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}~\mathrm du

et de l'expression \tfrac1{u^2+i} sous la forme \tfrac{u^2-i}{u^4+1} pour en déduire que

\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-it^2}~\mathrm dt =\frac12\sqrt{\frac\pi2}(1-i).

Il reste à prendre les parties réelle et imaginaire pour conclure que :

\int_0^{+\infty}\cos(-t^2)~\mathrm dt=\Re \mathfrak e\left(\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-it^2}~\mathrm dt\right) =\frac12\sqrt{\frac\pi2}

et

-\int_0^{+\infty}\sin(t^2)~\mathrm dt=\int_0^{+\infty}\sin(-t^2)~\mathrm dt=\Im \mathfrak{m}\left(\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-it^2}~\mathrm dt\right)=-\frac12\sqrt{\frac\pi2}.

Par intégration complexe[modifier | modifier le code]

Il est aussi possible d'intégrer f(z)=\exp(-z^2) sur les bornes du triangle T_R de sommets 0, ~R, ~\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)~ R puis de faire tendre R vers l'infini.

Contour utilisé pour le calcul
 \displaystyle\oint f(z)\,\text{d}z=\underbrace{\int_0^R \text{e}^{-t^2}\,\text{d}t}_{I_1(R)}+\underbrace{\int_0^{\pi/4} iR\,\text{e}^{it}\,\text{e}^{-R^2\exp(2it)}\,\text{d}t}_{I_2(R)}-\underbrace{\int_0^R \text{e}^{i\frac{\pi}{4}}\,\text{e}^{-it^2}\,\text{d}t}_{I_3(R)}

Intéressons nous d'abord à  I_2 .

|I_2(R)|\leq \displaystyle\int_0^{\pi/4}R\,\text{e}^{-R^2\cos(2t)}\,\text{d}t = \int_0^{\pi/2} \dfrac{R}{2}\,\text{e}^{-R^2\cos u}\,\text{d}u

après un changement de variable  u=2t . Or, sur  \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] , la concavité de  \cos donne

 \forall u\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right],\quad 1-\dfrac{2}{\pi}u\leq\cos u\leq 1

donc

 \forall u\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right],\quad \text{e}^{-R^2\cos u}\leq \,\text{e}^{R^2\left(\frac{2}{\pi}u-1\right)}

donc

 \displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{R}{2}\,\text{e}^{-R^2\cos u}\,\text{d}u\leq \dfrac{\pi}{4R}\left(1-\text{e}^{-R^2}\right)

Le théorème des gendarmes donne ainsi  \displaystyle\lim_{R\rightarrow +\infty}I_2(R)=0 . Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss,  \displaystyle\lim_{R\rightarrow +\infty}I_1(R)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2} . De plus,  \displaystyle\lim_{R\rightarrow +\infty}I_3(R)=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{+\infty} \text{e}^{-it^2}\,\text{d}t .

La fonction  f est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que  \displaystyle\oint f(z)\,\text{d}z=0.

Dès lors,

 \dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\displaystyle\int_0^{+\infty} \text{e}^{-it^2}\,\text{d}t = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}

donc

 \displaystyle\int_0^{+\infty} \text{e}^{-it^2}\,\text{d}t = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{1-i}2.

L'identification des parties réelles et imaginaires donne

 \displaystyle\int_0^{+\infty} \cos(t^2)\,\text{d}t = \displaystyle\int_0^{+\infty} \sin(t^2)\,\text{d}t = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.

Articles connexes[modifier | modifier le code]