Intégrale d'Euler

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En mathématiques, on désigne par intégrales d'Euler ou intégrales eulériennes deux types d'intégrales :

  1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
    \mathrm{\Beta}(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
  2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :
    
\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

Pour m et n entiers strictement positifs :

\Gamma(n) = (n-1)! \,
\mathrm{\Beta}(n,m)= {(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}