Injection (mathématiques)

Une application f : X → Y est dite injective ou est une injection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au plus un élément x dans l'ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit encore dans ce cas que tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f).

De manière équivalente, f est dite injective si pour tous x et x′ dans X, f(x) = f(x′) implique x = x′.

Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle ℝ alors une fonction f : ℝ → ℝ est injective si et seulement si son graphe intersecte toute droite horizontale en au plus un point.

Si une application injective est aussi surjective, elle est dite bijective.

Définition formelle

Une application f de X dans Y est dite injective si

$\forall (x,y)\in X^{2},\,\left(x\neq y\,\Rightarrow \,f(x)\neq f(y)\right).$

On dit que l'injection préserve les différences.

L'implication précédente équivaut à sa contraposée :

$\forall (x,y)\in X^{2},\,\left(f(x)=f(y)\,\Rightarrow \,x=y\right).$

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes, X, vers l'ensemble des chambres, Y (à chaque touriste est associée une chambre).

• Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
• L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
• Ces contraintes ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

Exemples et contre-exemples

Considérons la fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est injective (et même bijective), puisque pour tous nombres réels arbitraires x et x′, si 2x + 1 = 2x′ + 1 alors 2x = 2x′, soit x = x′.

En revanche, la fonction g : ℝ → ℝ définie par g(x) = x² n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1).

D'autre part, si nous définissons la fonction h : ℝ₊ → ℝ par la même relation que g,mais avec l'ensemble de définition restreint à l'ensemble des réels positifs, alors la fonction h est injective. Une explication est que, pour des réels positifs arbitraires donnés x et x′, si x² = x′², alors |x| = |x′|, ainsi x = x′.

Propriétés

• Une fonction f : X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X, c'est-à-dire si et seulement si f est inversible à gauche.
• Si l'application composée g∘f est injective alors f est injective.
• Si f et g sont toutes les deux injectives, alors g∘f est injective.
• S'il existe une surjection f telle que g∘f soit injective, alors g est injective (en effet, de g(y) = g(y') on déduit, pour x et x' des antécédents de y et y' par f (il en existe, par surjectivité de f) : g(f(x)) = g(f(x')) donc, par injectivité de g∘f : x = x' puis, en appliquant f  : y = y').
• f : X → Y est injective si et seulement si, pour toutes fonctions données g,h : Z → X, lorsque f∘g = f∘h, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions injectives sont précisément les monomorphismes de la catégorie des ensembles.
• Pour toute application f : X → Y, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1. f est injective
2. tout sous-ensemble A de X est l'image réciproque de son image directe : f ⁻¹(f(A)) = A
3. pour tous sous-ensembles A et B de X, on a f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

• Toute fonction h : Z → Y peut être décomposée comme h = f∘g pour une injection f et une surjection g convenables. Cette décomposition est unique à un isomorphisme près, et f peut être choisie égale à l'injection canonique, de l'image h(Z) de h, dans l'ensemble d'arrivée Y de h.
• Si f : X → Y est une fonction injective, alors Y a au moins autant d'éléments que X, au sens des cardinaux.
• Si on note E ≤ F la propriété « il existe une injection de l'ensemble E dans l'ensemble F », alors ≤ vérifie les propriétés d'une relation d'ordre sur les cardinaux. La réflexivité et la transitivité ont été traitées au cours des exemples précédents, et l'antisymétrie est l'objet du théorème de Cantor-Bernstein.
• Un morphisme d'un groupe X dans un groupe Y est injectif si et seulement si son noyau est réduit au sous-groupe trivial du groupe X.

Histoire

Le terme « injection » a été créé par MacLane en 1950 tandis que l'adjectif « injectif » apparaît deux ans plus tard, en 1952, dans les Foundations of Algebraic Topology d'Eilenberg et Steenrod.

Voir aussi

• Surjection
• Bijection