Indices de Miller et indices de direction

Les indices de Miller sont une manière de désigner les plans dans un cristal. On utilise des indices similaires pour désigner les directions dans un cristal, les indices de direction.

Un cristal est un empilement ordonné d'atomes, d'ions ou de molécules, appelés ci-après « motifs ». La périodicité du motif est exprimée par un réseau constitué de nœuds qui représentent les sommets de la maille. Les arêtes de la maille conventionnelle définissent les vecteurs de la base. Les plans et directions sont qualifiés de « nodaux » (plan nodal, direction nodale) ou mieux encore « réticulaires ». Une direction réticulaire est dite rangée.

En métallurgie, on travaille fréquemment avec des cristaux constitués d'un seul type d'atomes ; on parle donc de « plan atomique », de « direction atomique » ou de « rangée d'atomes », mais ce ne sont que des cas particuliers.

Importance des plans et directions denses

Plan cristallographique et densité atomique.
Bas : cristal de profil.
Haut : vues selon un axe perpendiculaire à chaque surface.

Le cristal n'est pas isotrope, il n'y a pas de raison que ses propriétés le soient. Les lignes et plans de grande densité vont présenter des propriétés particulières :

• optiques : la propagation d'une onde lumineuse dans le cristal (réfraction) se fait par diffusion Rayleigh de proche en proche, entre les atomes ; la vitesse de propagation peut donc différer selon la densité de la direction, ce qui peut induire le phénomène de biréfringence ;
• liées à la tension superficielle : si le matériau se condense sous la forme d'un cristal, c'est qu'un motif est plus stable lorsqu'il est entouré d'autres motifs ;
  • propagation d'une fissure et plan de clivage : les motifs d'une surface libre sont exposés à l'air ; la surface libre est plus stable si elle correspond à un plan de grande densité, car alors chaque motif est entouré d'un maximum de motifs ;
  • forme d'un pore, pour la même raison que ci-dessus ;
• adsorption et réactivité : le nombre de sites d'adsorption, et donc la réactivité chimique, dépend de la densité d'atomes ;
• dislocations :
  • le cœur d'une dislocation va plus s'étendre dans un plan dense, cela réduit le frottement lors du déplacement de la dislocation (force de Peierls-Nabarro au cours de la déformation plastique) ; les glissements se font donc préférentiellement selon des plans denses ;
  • la perturbation que représente une dislocation (vecteur de Burgers) est une direction dense : en effet, un décalage d'un motif dans une direction dense représente une distorsion faible (les motifs étant rapprochés) ;
  • la ligne d'une dislocation va également tendre à être une direction dense, afin de diminuer la tension de ligne (une boucle de dislocation aura donc tendance à être un polygone).

Repérage d'une direction

Exemples de directions.

Une direction du cristal peut se représenter par un vecteur directeur de son réseau de Bravais. Les coordonnées $(p, q, r)$ de ce vecteur sont donc entières.

Les valeurs absolues de ces trois coordonnées donnent trois entiers naturels qu'on appelle indices de direction. On les note direction entre crochets et on surligne ceux dont la coordonnée correspondante est négative.

Ainsi si $p$, $q$ et $r$ sont des coordonnées positives, la direction est notée $[uvw]$, avec :

• $u = p$ ;
• $v = q$ ;
• $w = r$.

Par exemple $[11\bar{1}]$ désigne la direction dont un des vecteurs directeurs a pour coordonnées $(1, 1, -1)$.

Note

Dans le cas général, la base $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ du réseau de Bravais est quelconque. C'est une base orthogonale dans le cas d'un réseau à symétrie orthorhombique ou tétragonale, et orthonormale dans le cas d'un réseau à symétrie cubique.

Repérage d'un plan

Définition des indices de Miller d'un plan.

Considérons le plan le plus proche de l'origine mais qui ne passe pas par l'origine. Si l'on prend l'intersection de ce plan avec les trois axes, on obtient trois points :

• $A_1 (p, 0, 0)$ l'intersection du plan avec l'axe des abscisses,
• $A_2 (0, q, 0)$ l'intersection du plan avec l'axe des ordonnées,
• $A_3 (0, 0, r)$ l'intersection du plan avec l'axe des cotes.

Les valeurs absolues des inverses des trois nombres $p$, $q$ et $r$, multipliées par leur plus petit commun multiple donnent trois entiers naturels (c'est pour cela qu'on multiplie par le plus petit commun multiple) qu'on appelle indices de Miller. On les note entre parenthèses et on surligne ceux dont la coordonnée correspondante est négative.

Ainsi si $p$, $q$ et $r$ sont des coordonnées positives, le plan est noté $(hkl)$, avec :

• $h = \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{p},$
• $k = \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{q},$
• $l = \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{r}.$

Exemples de plans pour une structure cubique.

Si ni $h$, ni $k$, ni $l$ ne sont nuls alors le plan $(hkl)$ passe par les points $A_1 (\mathrm{PPCM} (p, q, r) / h, 0, 0)$, $A_2 (0, \mathrm{PPCM} (p, q, r) / k, 0)$ et $A_3 (0, 0, \mathrm{PPCM} (p, q, r) / l)$ donc les vecteurs suivants sont dans le plan $(hkl)$ :

• $\overrightarrow{A_1 A_2} \left( - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{h}, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{k}, 0 \right),$
• $\overrightarrow{A_1 A_3} \left( - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{h}, 0, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{l} \right),$
• $\overrightarrow{A_2 A_3} \left( 0, - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{k}, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{l} \right).$.

Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les couples de ces vecteurs forment une base du plan $(hkl)$.

Si l'un des indices est nul alors un des vecteurs de base de la maille est aussi un vecteur du plan :

• si $h = 0$ alors le vecteur de coordonnées $(1, 0, 0)$ est dans le plan,
• si $k = 0$ alors le vecteur de coordonnées $(0, 1, 0)$ est dans le plan,
• si $l = 0$ alors le vecteur de coordonnées $(0, 0, 1)$ est dans le plan.

Si la base est orthonormée alors les produits scalaires du vecteur de coordonnées $(h, k, l)$ avec $\overrightarrow{A_1 A_2}$, $\overrightarrow{A_1 A_3}$ et $\overrightarrow{A_2 A_3}$ sont nuls :

$\left( - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{h}, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{k}, 0 \right) \cdot (h, k, l) = \mathrm{PPCM} (p, q, r)(-1 + 1 + 0) = 0,$

$\left( - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{h}, 0, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{l} \right) \cdot (h, k, l) = \mathrm{PPCM} (p, q, r)(-1 + 0 + 1) = 0,$

$\left( 0, - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{k}, \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{l} \right) \cdot (h, k, l) = \mathrm{PPCM} (p, q, r)(0 - 1 + 1) = 0.$

Donc dans le cas d'un réseau cubique, le vecteur de coordonnées $(h, k, l)$ est perpendiculaire à la surface, c'en est un vecteur normal. Dans le cas général, il faut changer de base pour que le vecteur de coordonnées $(h, k, l)$ dans la base soit perpendiculaire au plan (cf. infra).

Symétries cristallines et permutation des indices

Certaines structures cristallines possèdent des symétries particulières permettant la permutation des indices.

Cristal à symétrie cubique

Pour un cristal suivant un réseau de Bravais cubique, les quatre diagonales sont équivalentes, les trois faces du cube sont équivalentes, etc. On peut donc permuter ou prendre les opposés des indices de direction ou de Miller, cela représentera immuablement une direction ou un plan ayant les mêmes propriétés.

• L'ensemble des directions obtenu par permutations ou oppositions est appelé « famille de directions » et noté entre chevrons :

$\langle uvw \rangle$ désigne les directions $[uvw]$, $[uwv]$, $[vuw]$, $[vwu]$, $[wuv]$, $[wvu]$ ainsi que toutes leurs combinaisons obtenues en changeant des signes.

Par exemple $\langle 100 \rangle$ désigne les directions $[100]$, $[\bar{1}00]$, $[010]$, $[0\bar{1}0]$, $[001]$ et $[00\bar{1}]$.

• L'ensemble des plans obtenu par permutations ou oppositions est appelé « famille de plans » et noté entre accolades :

$\{hkl\}$ désigne les plans $(hkl)$, $(hlk)$, $(khl)$, $(klh)$, $(lhk)$, $(lkh)$ ainsi que toutes leurs combinaisons obtenues en changeant des signes.

Par exemple $\{100\}$ désigne les plans $(100)$, $(\bar{1}00)$, $(010)$, $(0\bar{1}0)$, $(001)$ et $(00\bar{1})$.

Cristal à symétrie hexagonale

Indices de Miller-Bravais.

Dans le cas des structures à symétrie hexagonale, ou trigonale, on définit parfois un quatrième indice pour désigner les plans, (hkil) ; c'est la notation de Bravais-Miller. L'indice i, placé en troisième position, est redondant (les trois indices h, k et l suffisent à eux seuls à définir un plan) ; il est défini par

i = -h - k.

Cette notation permet d'appliquer des permutations circulaires d'indices pour définir des familles de plans.

En fait, si l'on considère le plan de base (001), ce plan a une symétrie d'ordre 3, c'est-à-dire qu'il est invariant par une rotation d'1/3 de tour (2π/3 rad, 120 °). Il contient donc trois directions identiques [100], [010] et [110]. Si l'on prend l'intersection du plan avec ces trois axes, l'inverse des abscisses des intersections donnent les indices h, k et i.

Calculs géométriques dans l'espace réciproque

Distance interréticulaire

Article détaillé : Distance interréticulaire.

La distance interréticulaire $d_{hkl}$ entre deux plans de la famille $\{hkl\}$ est donnée par :

$d_{hkl} = \frac{1}{\|\vec{H}\|} = \frac{1}{\sqrt{\vec{H}^{T} G^* \vec{H}}}$

où :

• $\vec{H}=h \vec{e_1^*} + k \vec{e_2^*} + l \vec{e_3^*}$ est un vecteur normal à un plan de la famille $\{hkl\}$ ;
• $\vec{e_1^*}$, $\vec{e_2^*}$ et $\vec{e_3^*}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque ;
• $\vec{H}^T$ est la transposée du vecteur $\vec{H}$ ;
• $G^*$ est le tenseur métrique du réseau réciproque.

Angle entre plans réticulaires

L'angle $\theta$ entre deux plans réticulaires $(hkl)_1$ et $(hkl)_2$ est l'angle entre leurs normales $\vec{H_1}$ et $\vec{H_2}$. Il est donné par :

$\cos{\theta} = \frac{(\vec{H_1} | \vec{H_2})}{\|\vec{H_1}\| \|\vec{H_2}\|}$

avec

• $(\vec{H_1} | \vec{H_2}) = \vec{H_1}^T G^* \vec{H_2}$
• $\| \vec{H_i} \|= \sqrt{\vec{H_i}^T G^* \vec{H_i}}$

où :

• $\vec{H_i} = h_i \vec{e_1^*} + k_i \vec{e_2^*} + l_i \vec{e_3^*}$ est un vecteur normal au plan $(hkl)_i$ ;
• $\vec{e_1^*}$, $\vec{e_2^*}$ et $\vec{e_3^*}$ sont les vecteurs de base du réseau réciproque ;
• $\vec{H_i}^T$ est la transposée du vecteur $\vec{H_i}$ ;
• $G^*$ est le tenseur métrique du réseau réciproque.

Indexation des pics de diffraction

Dans les expériences de diffraction avec une longueur d'onde de l'ordre des paramètres de maille (diffraction de rayons X, diffraction de neutrons, diffraction des électrons en microscopie électronique en transmission), la position des pics de diffraction peut se calculer en fonction des distances interréticulaires, par la loi de Bragg.

On peut ainsi relier chaque pic à un plan $(hkl)$. Les indices de Miller du plan sont les indices du pic.

Espace réciproque et diffraction

Considérons l'espace réciproque, c'est-à-dire l'espace vectoriel formé par les vecteurs d'onde ; l'utilisation de cet espace permet de déterminer facilement les conditions de diffraction (voir aussi l'article Théorie de la diffraction sur un cristal).

On y définit la base réciproque $(\vec{e_1^*}, \vec{e_2^*}, \vec{e_3^*})$ par

$\vec{e_1^*} = \frac{1}{V} \vec{e_2} \wedge \vec{e_3},$

$\vec{e_2^*} = \frac{1}{V} \vec{e_3} \wedge \vec{e_1},$

$\vec{e_3^*} = \frac{1}{V} \vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$

où V est le volume de la maille de base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$ qu'on calcule :

$V = \vec{e_1} \cdot (\vec{e_2} \wedge \vec{e_3}) = \vec{e_3} \cdot (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) = \vec{e_2} \cdot (\vec{e_3} \wedge \vec{e_1})$.

D'après les propriétés du produit vectoriel, on a :

$\vec{e_1^*} \cdot \vec{e_2} = \vec{e_1^*} \cdot \vec{e_3} = 0$, soit $\vec{e_1^*} \bot \vec{e_2}$ et $\vec{e_1^*} \bot \vec{e_3},$

$\vec{e_2^*} \cdot \vec{e_3} = \vec{e_2^*} \cdot \vec{e_1} = 0$, soit $\vec{e_2^*} \bot \vec{e_3}$ et $\vec{e_2^*} \bot \vec{e_1},$

$\vec{e_3^*} \cdot \vec{e_1} = \vec{e_3^*} \cdot \vec{e_2} = 0$, soit $\vec{e_3^*} \bot \vec{e_1}$ et $\vec{e_3^*} \bot \vec{e_2}.$

Par ailleurs, si (m, n, p) est une permutation circulaire de (1, 2, 3), on a

$\vec{e_m} \cdot \vec{e_m^*} = \frac{1}{V} \vec{e_m} \cdot (\vec{e_n} \wedge \vec{e_p}) = 1.$

Notons $\vec{K}$ le vecteur ayant les coordonnées (h, k, l) dans cette base réciproque :

$\vec{K} = h \vec{e_1^*} + k \vec{e_2^*} + l \vec{e_3^*}.$

Ce vecteur est normal au plan (hkl) : si ni h, ni k, ni l ne sont nuls, alors :

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = (h \vec{e_1^*} + k \vec{e_2^*} + l \vec{e_3^*}) \cdot \left( - \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{h} \vec{e_1} + \frac{\mathrm{PPCM} (p, q, r)}{k} \vec{e_2} \right),$

soit :

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = \mathrm{PPCM} (p, q, r) \left( - \vec{e_1^*} \cdot \vec{e_1} + \frac{h}{k} \vec{e_1^*} \cdot \vec{e_2} - \frac{k}{h} \vec{e_2^*} \cdot \vec{e_1} + \vec{e_2^*} \cdot \vec{e_2} - \frac{l}{h} \vec{e_3^*} \cdot \vec{e_1} + \frac{l}{k} \vec{e_3^*} \cdot \vec{e_2} \right),$

donc :

$\vec{K} \cdot \overrightarrow{A_1 A_2} = \mathrm{PPCM} (p, q, r) (-1 + 0 - 0 + 1 - 0 + 0) = 0$

donc $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_1 A_2}$. On peut démontrer de même que $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_2 A_3}$ et que $\vec{K} \bot \overrightarrow{A_3 A_1}$. Le vecteur $\vec{K}$ est perpendiculaire à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan. Si h, k ou l est nul, on montre l'orthogonalité en se basant sur le fait qu'un ou deux des axes est parallèle au plan.

Or, les vecteurs ayant des coordonnées entières dans la base réciproque correspondent aux conditions de diffraction. Ainsi :

• dans le cas de la diffraction sur un monocristal (cliché de Laue, microscopie électronique en transmission), on peut associer une tache de diffraction à un plan cristallographique ;
• dans le cas d'une poudre (Méthode de Debye-Scherrer, diffractomètre Bragg-Brentano), on peut associer un anneau de Debye ou un pic de diffraction à un plan cristallographique.

On parle ainsi de tache, d'anneau ou de pic (hkl). Cette association s'appelle « l'indexation ».

Voir aussi

Article connexe

• Réseau de Bravais

Liens externes

• Éléments de cristallographie
  • Plans nodaux et indices de Miller
  • Indices de Miller