Indice et distance de Jaccard

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L'indice et la distance de Jaccard sont deux métriques utilisées en statistiques pour comparer la similarité et la diversité entre des échantillons. Elles sont nommées d'après le botaniste suisse Paul Jaccard.

Description formelle[modifier | modifier le code]

L'indice de Jaccard (ou coefficient de Jaccard) est le rapport entre le cardinal (la taille) de l'intersection des ensembles considérés et le cardinal de l'union des ensembles. Il permet d'évaluer la similarité entre les ensembles. Soit deux ensembles A et B, l'indice est :

 J(A,B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}.

L'extension à n ensembles est triviale :

 J(S_1, S_2, \dotsc, S_n) = \frac{|S_1 \cap S_2 \cap \dotsb \cap S_n |}{|S_1 \cup S_2 \cup \dotsb \cup S_n |}.

La distance de Jaccard mesure la dissimilarité entre les ensembles. Elle consiste simplement à soustraire l'indice de Jaccard à 1.

 J_{\delta}(A,B) = 1 - J(A,B) = { { |A \cup B| - |A \cap B| } \over |A \cup B| }.

De la même manière que pour l'indice, la généralisation devient :

 J_{\delta}(S_1, S_2, \dotsc, S_n) = 1 - J(S_1, S_2, \dotsc, S_n) = \frac{|S_1 \cup S_2 \cup \dotsb \cup S_n | - |S_1 \cap S_2 \cap \dotsb \cap S_n |}{|S_1 \cup S_2 \cup \dotsb \cup S_n |}.

Similarité entre des ensembles binaires[modifier | modifier le code]

L'indice de Jaccard est utile pour étudier la similarité entre des objets constitués d'attributs binaires.

Soit deux séquences A et B, chacune avec n attributs binaires. Chaque attribut peut être à 0 ou 1. On a ainsi :

 A = (a_1, a_2, ..., a_n)~
 B = (b_1, b_2, ..., b_n)~

On définit plusieurs quantités qui caractérisent les deux ensembles :

M_{11}~ représente le nombre d'attributs qui valent 1 dans A et dans B
M_{01}~ représente le nombre d'attributs qui valent 0 dans A et 1 dans B
M_{10}~ représente le nombre d'attributs qui valent 1 dans A et 0 dans B
M_{00}~ représente le nombre d'attributs qui valent 0 dans A et dans B

Chaque paire d'attributs doit nécessairement appartenir à l'une des quatre catégories, de telle sorte que :

M_{11} + M_{01} + M_{10} + M_{00} = n ~.

L'indice de Jaccard devient :

J = {M_{11} \over M_{01} + M_{10} + M_{11}} ~

En utilisant ces deux dernières expressions, on obtient :

J = {M_{11} \over n - M_{00}} ~

Il suffit donc de ne calculer que les nombres d'attributs :

  • valant 1 dans tous les ensembles
  • valant 0 dans tous les ensembles

La dernière écriture de cette formule, faisant intervenir n, est généralisable pour l'étude de similarité de plusieurs ensembles binaires (en calculant M_{00...00} et M_{11..11} avec autant de 0 et de 1 que d'ensembles).

La distance de Jaccard devient:

J_{\delta} = {M_{01} + M_{10} \over M_{01} + M_{10} + M_{11}}

Exemple[modifier | modifier le code]

 A = (1,0,1,0,0,0,0)~
 B = (1,0,0,1,0,1,1)~
M_{11} = 1 ~
M_{00} = 2 ~
M_{01} = 3 ~
M_{10} = 1 ~
J = \frac{1}{ 3 + 1 + 1} = 0,2
J_{\delta} = \frac{3+1}{ 3 + 1 + 1} = 0,8 = 1 - J

En utilisant l'écriture de la formule faisant intervenir n (plus rapide) :

n = 7 ~
M_{11} = 1 ~
M_{00} = 2 ~
J = \frac{1}{ 7 - 2} = 0,2
J_{\delta} = 1 - J = 1 - \frac{1}{ 7 - 2} = 0,8

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • Pang-Ning Tan, Michael Steinbach and Vipin Kumar, Introduction to Data Mining (2005), ISBN 0-321-32136-7
  • Paul Jaccard (1901) Bulletin de la Société Vaudoise des Sciences Naturelles 37, 241-272.
  • Tanimoto, T.T. (1957) IBM Internal Report 17th Nov. 1957.

Liens externes[modifier | modifier le code]