Indice de Theil

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L’indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon.

  • Un indice de 0 indique une égalité absolue.
  • Un indice de 0,5 indique une inégalité représentée par une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources.
  • Un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources[1].

Formule[modifier | modifier le code]

Illustration de la relation entre l'indice de Theil T et l'indice de Hoover H (différence T-H et quotient T/H) pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A % des peuples ont B % des ressources et B % des peuples ont A % de toutes les ressources. A+B=100 %. Pour de telles sociétés, l'indice de Hoover et le coefficient de Gini sont les mêmes mesures. T=T_T=T_L=T_s = 2 H \, \operatorname{argtanh} \left( H \right)\,

Formule[2] pour l'indice de Theil \displaystyle{} T :

  • N : Nombre des quantiles
  • E_i : ressources pour le quantile i,
  • A_i : effectif dans le quantile i,
  • E_\mathrm{total} : ressources pour tous les quantiles dans une société (une nation, etc.),
  • A_\mathrm{total} : effectif de la société (de la nation, etc.).



T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}}}{{E}_\mathrm{total}}


En cas de {{E}'_i}=E_i/E_\text{total} et {{A}'_i}=A_i/A_\text{total}:


\color{Gray} T_T = 0 - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}^N {{E}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}

C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. Le partie à droite est l'entropie actuelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information[3], une telle différence est la redondance.


L'inégalité par référence à la population :


T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}}}{{A}_\mathrm{total}}


En cas de {{E}'_i}=E_i/E_\text{total} et {{A}'_i}=A_i/A_\text{total}:


\color{Gray} T_L = 0 - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}^N {{A}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}

L'opération[4] pour normaliser les indices de Theil est \displaystyle 1 - e^{-T}

L'indice de Theil et indice de Hoover[modifier | modifier le code]

La moyenne de ces deux formules[5] est un indice symétrique :


T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \color{Black} \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right) \color{Black}


La moyenne est très convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.


H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \color{Blue} \left| \color{Black} \frac{E_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right| \color{Black}

Décomposition[modifier | modifier le code]

Si pour les sous-groupes k les sous-indices de Theil sont connus :


T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \left( \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}} - T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}



T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}



T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}^N \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \right) + \frac{{E}_i}{E_\text{total}} T_{T_i} + \frac{{A}_i}{A_\text{total}} T_{L_i}

Fonction de bien-être[modifier | modifier le code]

Il est possible de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996)[6] par cette formule :

W_\mathrm{Theil-L} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}^{-T_L} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}^{-T_L} = \mathrm{e}^{\frac{\sum_{i=1}^N {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}^N \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}^{-T_{L_i}} \right)^{\frac{{A}_i}{{A}_\mathrm{total}}}

Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu E_i de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est toujours plus petite que le revenu moyen.

Si on prend un du revenu total de cette société, cet sera part d'un revenu E_i plus grand que le revenu moyen :

W^{-1}_\mathrm{Theil-T} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}^{T_T} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}^{T_T} = \mathrm{e}^{\frac{\sum_{i=1}^N {{E}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} + T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}^N \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}^{T_{T_i}} \right)^{\frac{{E}_i}{{E}_\mathrm{total}}}


Références[modifier | modifier le code]

  1. Exemple (voir aussi: Principe de Pareto): 82,4 % des peuples ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des peuples ont 82,4 % de toutes les ressources : http://www.poorcity.richcity.org/calculator/?quantiles=82.4,17.6%7C17.6,82.4
  2. E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)
  3. ISO/IEC DIS 2382-16:1996
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005
  5. Elhanan Helpman: The Mystery of Economic Growth, 2004, ISBN 0-674-01572-X (Ces deux formules pour T_T et T_L sont similaires aux formules page 150.)
  6. James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, ISBN 0-19-828193-5

Voir aussi[modifier | modifier le code]


Littérature[modifier | modifier le code]

  • Amiel, Y.: Thinking about inequality, Cambridge 1999.
  • Cowell, Frank A. (2002, 2003): Theil, Inequality and the Structure of Income Distribution, London School of Economics and Political Sciences (sur la classe des indices de Kolm)
  • Sen, Amartya: On Economic Inequality (Enlarged Edition with a substantial annexe “On Economic Inequality” after a Quarter Century with James Foster), Oxford 1997, ISBN 0-19-828193-5
  • Tsui, Kai-Yuen (1995): Multidimensional Generalizations of the Relative and Absolute Inequality Indices: The Atkinson-Kolm-Sen Approach. Journal of Economic Theory 67, 251-265.

Liens externes[modifier | modifier le code]