Indice de Moran

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En statistiques, l’indice de Moran (ou I de Moran) est une mesure de l'autocorrélation spatiale développée par Patrick A.P. Moran[1]. L'auto-corrélation spatiale est caractérisée par une corrélation entre les mesures géographiquement voisines d'un phénomène mesuré.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un champ réel X défini sur un réseau discret de N sites ; soit une matrice de poids positifs W, carrée de dimension N, Wi,j quantifiant les influences de j sur i[2]. Notant la moyenne de X, on définit l'indice I de Moran pour X et W par :

 I = \frac{N} {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}} \frac {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}(X_i-\bar X) (X_j-\bar X)} {\sum_{i} (X_i-\bar X)^2}

L'espérance mathématique de l'indice de Moran sous des hypothèses de non auto-corrélation spatiale est donnée par :  E(I) = \frac{-1} {N-1}

Sa variance est égale à Var(I) = \frac{NS_4-S_3S_5} {(N-1)(N-2)(N-3)(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2}S_1 = \frac {1} {2} \sum_{i} \sum_{j} (w_{ij}+w_{ji})^2 S_2 = \frac {\sum_{i} ( \sum_{j} w_{ij} + \sum_{j} w_{ji})^2} {1} S_3 = \frac {N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^4} {(N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^2)^2} S_4 = \frac {(N^2-3N+3)S_1 - NS_2 + 3 (\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1} S_5 = S_1 - 2NS_1 + \frac {6(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1}

Les valeurs négatives (positives) de l'indice indiquent une auto-corrélation spatiale négative (positive). Ses valeurs s'étendent de -1 (indiquant une dispersion parfaite) à +1 (corrélation parfaite). Une valeur nulle est significatif d'un modèle spatial parfaitement aléatoire. Pour le test d'hypothèse statistique, l'indice I de Moran peut être transformé en Z-scores dans lequel les valeurs plus grandes que +1,96 ou plus petites que -1,96 indiquent une auto-corrélation spatiale significatives avec un taux d'erreur de 5 %.

L'indice de Moran est relié à celui de Geary, mais n'est pas identique. L'indice de Moran est une mesure de l'auto-corrélation spatiale globale, tandis que l'Indice de Geary est plus sensible à l'auto-corrélation spatiale locale.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moran's I » (voir la liste des auteurs)


Références[modifier | modifier le code]

  1. Moran, P.A.P. (1950), "Notes on Continuous Stochastic Phenomena," Biometrika, 37, 17–33.
  2. On peut choisir pour wi,j, par exemple :
    • une fonction de la forme (pourcentage de la frontière de i partagée avec j)coefficient b ÷ (distance de i à j)coefficient a ;
    • ou simplement 1 si i et j sont contigus, 0 sinon.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Moran, P.A.P. (1950), "Notes on Continuous Stochastic Phenomena," Biometrika, 37, 17–23.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Esri,Spatial Autocorrelation (Morans I) (Spatial Statistics)