Indice d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, si H est un sous-groupe d'un groupe G, l'indice du sous-groupe H dans G est le nombre de copies distinctes de H que l'on obtient en multipliant à gauche par un élément de G, soit le nombre des xH quand x parcourt G (on peut choisir en fait indifféremment de multiplier à gauche ou à droite). Les classes xH formant une partition, et la multiplication à gauche dans un groupe par un élément donné étant bijective, le produit de l'indice du sous-groupe H dans G par l'ordre de H égale l'ordre de G, ce dont on déduit, pour un groupe fini, le théorème de Lagrange.

Définition

Soient (G,•) un groupe et H un sous-groupe de G. La relation x^–1y∈H est une relation d'équivalence (en x et y) dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme xH, où x parcourt G. On appelle ces parties de G' les classes à gauche (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

De même, la relation yx^–1∈H est une relation d'équivalence dans G et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de G de la forme Hx, où x parcourt G. On appelle ces parties de G les classes à droite (d'éléments de G) suivant H, ou encore modulo H.

(Il est clair que les classes à gauche et les classes à droite d'éléments de G modulo H coïncident si G est commutatif. Plus généralement, elles coïncident si et seulement si H est un sous-groupe distingué de G.)

L'application X↦X^–1 est une bijection de l'ensemble des classes à gauche sur l'ensemble des classes à droite, donc l'ensemble des classes à gauche et l'ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de H dans G et noté (G:H), ou encore [G:H], ou encore |G:H|.

Exemples

• L'indice de G dans lui-même est égal à 1.
• L'indice dans G du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l'ordre de G.
• Soit n un nombre naturel > 0 et considérons le sous-groupe nZ de Z. En raisonnant sur le reste euclidien, on montre que les classes d'éléments de Z modulo nZ sont exactement les classes de 0, 1, 2, ..., n-1 et que ces n classes sont distinctes. (Puisque le groupe Z est commutatif, il n'y a pas lieu ici de distinguer entre classes à gauche et classes à droite.) L'indice de nZ dans Z est donc égal à n.

Formule des indices

Soient $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe de $G$ et $K$ un sous-groupe de $H$, autrement dit un sous-groupe de $G$ contenu dans $H$. On démontre la formule des indices :

$\vert G:K \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H:K \vert$.

En faisant $K$ = 1, nous trouvons que, pour tout groupe $G$ et tout sous-groupe $H$ de $G$,

$(1) \qquad \vert G \vert = \vert G:H \vert \cdot \vert H \vert$.

Ceci peut évidemment se démontrer plus directement en notant que les classes modulo $H$ sont équipotentes à $H$, de sorte que $G$ est réunion disjointe de $[G:H]$ « copies » de $H$.

De la relation (1) résulte le théorème de Lagrange, d'après lequel l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre de ce groupe.

La relation (1) montre aussi que l'indice d'un sous-groupe de $G$ divise $|G|$.

Indice de l'intersection de deux sous-groupes

Dans cette section, on désignera par $G/H$ l'ensemble des classes à gauche de $G$ modulo le sous-groupe $H$ de $G$.

Si $H$ et $K$ sont deux sous-goupes de $G$ alors

$[G:H\cap K]=[G:H][H:H\cap K]\le[G:H][G:K],$

car l'application

$H/(H\cap K)\to G/K, h(H\cap K)\mapsto h(H\cap K)K=hK$

est injective. En particulier, si [G:H] et [G:K] sont tous deux finis, [G:H∩K] l'est aussi (théorème de Poincaré).

Voir aussi

• Indice 
• Cœur d'un sous-groupe