Inégalité de Levinson

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En mathématiques, l'inégalité de Levinson est l'inégalité suivante, due à Norman Levinson, faisant intervenir des nombres strictement positifs. Soit a>0 et f une fonction admettant une dérivée troisième sur l'intervalle \left]0,2a\right[ telle que

f'''(x)\geq 0

pour tout x\in\left]0,2a\right[. Supposons que 0<x_i\le a pour i=1,\dots,n et 0<p. Alors :

\frac{\sum_{i=1}^np_i f(x_i)}{\sum_{i=1}^np_i}-f\left(\frac{\sum_{i=1}^np_ix_i}{\sum_{i=1}^np_i}\right)\le\frac{\sum_{i=1}^np_if(2a-x_i)}{\sum_{i=1}^np_i}-f\left(\frac{\sum_{i=1}^np_i(2a-x_i)}{\sum_{i=1}^np_i}\right).

L'inégalité de Ky Fan (en) est le cas particulier de l'inégalité de Levinson où

p_i=1,\ a=\frac12,

et

f(x)=\log(x).

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Levinson's inequality » (voir la liste des auteurs)
  • Scott Lawrence and Daniel Segalman: A generalization of two inequalities involving means, Proceedings of the American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, September 1972.
  • Norman Levinson: Generalization of an inequality of Ky Fan, Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.