Inégalité de Kantorovitch

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En mathématiques, l'inégalité de Kantorovich est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, elle-même généralisation de l'inégalité triangulaire.

Elle est nommée d'après le mathématicien et économiste soviétique, lauréat du prix Nobel, Leonid Kantorovich, pionnier de la programmation linéaire.

L'inégalité triangulaire dit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle sera supérieure ou égale à la longueur du troisième côté. L'inégalité de Kantorovich donne un résultat équivalent avec les termes et notations de la programmation linéaire.

Inégalité de Kantorovitch (version scalaire) — Soit p_i \geq 0,\quad 0 < a \leq x_i \leq b pour i=1,...,n.

Soient A_n=\{1,2,\dots ,n\}. Alors


\qquad \left( \sum_{i=1}^n p_ix_i \right ) \left (\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{x_i} \right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} \left (\sum_{i=1}^n p_i \right )^2
-\frac{(a-b)^2}{4ab} \cdot \min \left\{ \left (\sum_{i \in X}p_i-\sum_{j \in Y}p_j \right )^2\,:\, {X \cup Y=A_n},{X \cap Y=\varnothing} \right\}.

Inégalité de Kantorovitch (version matricielle) — Soit \mathbf{A} \in \mathcal{S}_n^{++} (\R), une matrice symétrique définie positive. Soit \lambda_{\min}, \lambda_{\max}, respectivement la valeur propre la plus petite et la plus grande de A.

Alors, pour tout vecteur  x \in \R^n :


\left\langle \mathbf{A} x , x \right\rangle \left\langle \mathbf{A}^{-1} x , x \right\rangle \leqslant \frac14 \left( \sqrt{\frac{\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}}} + \sqrt{\frac{ \lambda_{\max}}{ \lambda_{\min}}} \right)^2 \| x\|^4

L'inégalité de Kantorovich est utilisée en analyse de convergence ; elle permet notamment de majorer la vitesse de convergence de la méthode de descente de Cauchy.

Des équivalents de l'inégalité de Kantorovich existent dans différents domaines. On citera l'inégalité de Wielandt et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, toutes elles-mêmes équivalentes à l'inégalité de Hölder.

Références[modifier | modifier le code]

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