Inégalité de Bernoulli

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Définition

L'inégalité de Bernoulli stipule que :

$(1+x)^n>1+nx~$

pour tout entier naturel $n>1$ et tout nombre nombre réel $x$ non nul et strictement supérieur à −1.

Démonstration par récurrence

On suppose fixé un réel $\scriptstyle x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[$ et on montre l'inégalité pour tout entier n≥2, par récurrence sur n.

• Initialisation : $(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x$ donc la propriété est vraie au rang 2.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que $(1+x)^k>1+kx$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant $k+1$, c'est-à-dire montrons que $(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x$.

En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par $1+x$ (qui par hypothèse est strictement positif) on obtient :

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x.$

• Conclusion :

La propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2.

Généralisation

Pour tout nombre réel $r>1$ et tout nombre réel $x$ non nul et strictement supérieur à −1, on a encore :

$(1+x)^r>1+rx.~$

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est $r$ qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et on étudie les variations de la fonction $f$ définie sur $\scriptstyle D=]-1,+\infty[$ par :

$f(x)=(1+x)^r-(1+rx),~$

le but étant de montrer que $f(x)>0$ pour tout $x$ non nul appartenant à $D$.

La dérivée de $f$ sur $D$ est donnée par :

$f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right),$

qui est du même signe que $(1+x)^{r-1}-1$.

Mais comme $r-1>0$, la fonction qui à tout réel positif $y$ associe $y^{r-1}$ vérifie :

$\forall y\in]0,1[,\quad y^{r-1}<1^{r-1}=1\quad\text{et}\quad\forall y\in]1,+\infty[,\quad y^{r-1}>1^{r-1}=1,$

autrement dit

$\forall x\in]-1,0[,\quad(1+x)^{r-1}<1\quad\text{et}\quad\forall x\in]0,+\infty[,\quad(1+x)^{r-1}>1,$

si bien que

$\forall x\in]-1,0[,\quad f'(x)<0\quad\text{et}\quad\forall x\in]0,+\infty[,\quad f'(x)>0.$

Par conséquent, la fonction $f$ (continue en 0) est strictement décroissante sur l'intervalle $]-1,0]$ et strictement croissante sur l'intervalle $\scriptstyle[0,+\infty[$.

Comme elle s'annule en 0, on a donc bien $f>0$ sur l'ensemble $\scriptstyle\left]-1,0\right[\cup \left]0,+\infty\right[$.