Image d'une application

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$f$ est une fonction de $X$ dans $Y$ . L'ovale jaune dans $Y$ est l'image de $f$ .

On appelle image d'une application $f$ (d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$ ) l'image directe par $f$ de l'ensemble de départ $A$ ^[1]. C'est donc le sous-ensemble de $B$ contenant les images de tous les éléments de $A$ , et uniquement ces images. On le note $Im(f)$ .

\operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)

.

Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment $[-1, 1]$ ^[1]. »^{[Note 1]}

Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée.

Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f.

Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique.

On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par:

$\operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)$

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Cette affirmation n'est vraie que si l'ensemble de départ est l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ et est incorrecte si on généralise à l'ensemble des nombres complexes $\mathbb {C}$ .