Identités logarithmiques

Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés ($a$, $b$, $c$ et $d$) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières

• $\log_a1 = 0\,$
• $\log_aa = 1\,$

Multiplication, division et exponentiation

• $\log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,$
• $\log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_ca - \log_cb\,$
• $\forall r\in\R,\ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\,$

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Formules de G. G. Gendre:

• $\log_c(a + b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} + 1 )+ \log_cb$ pour $a>b$
• $\log_c(a - b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} - 1 )+ \log_cb$ pour $a>b$

Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement $\log(a+b)$ en fonction de $\log(a)$ et $\log(b)$ en évitant des dépassements des limites numériques.

Réciprocité

• $a^{\log_ab} = b\,$
• pour tout nombre réel $r$, $\log_a (a^r) = r$

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\,$

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.

$\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb$

Démonstration

Cette formule découle simplement du rapport constant lors du changement de base.

Hypothèse : $\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb$

$\iff \frac{\log_cb}{\log_ca} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb$ (changement de base à gauche)

$\iff \frac{\log_cb}{\frac{\log_aa}{\log_ac}} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb$ (changement de base de $\log_ca$)

$\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ac}{\log_aa} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb$ (multiplication par l'inverse)

$\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ad}{\log_aa} = \log_ad\cdot\log_cb$ (simplification des $\log_ac$)

$\iff \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb\,$ (simplification de $\log_aa$)

∎CQFD

Limites

$\lim_{x\to 0} \log_a x = -\infty$ pour $a > 1$

$\lim_{x\to 0} \log_a x = +\infty$ pour $0<a<1$

$\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty$ pour $a>1$

$\lim_{x\to +\infty} \log_a x = -\infty$ pour $0<a<1$

$\lim_{x\to 0}\ \log_a (x)\cdot x^b = 0$ pour $b$ rationnel positif

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0$ pour $b$ rationnel positif

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée

$\log'_a(x)=\frac{1}{x\ln a}$

Dans le cas particulier de la base e :

$\ln'(x)=\frac1x$

Primitive

$\int_{x_0}^x\log_at\;\mathrm dt = \left[t\cdot\left(\log_at-\frac{1}{\ln a}\right)\right]_{x_0}^x$