Identités logarithmiques

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Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

  • \log_a1 = 0\,
  • \log_aa = 1\,

Multiplication, division et exponentiation[modifier | modifier le code]

  • \log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,
  • \log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_ca - \log_cb\,
  • \forall r\in\R,\ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\,

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Addition et soustraction[modifier | modifier le code]

Formules de G. G. Gendre :

  • \log_c(a + b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} + 1 )+ \log_cb pour a>b
  • \log_c(a - b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} - 1 )+ \log_cb pour a>b

Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement \log(a+b) en fonction de \log(a) et \log(b) en évitant des dépassements des limites numériques.

  • \log_c(a + b) = \log_ca + \log_cb - \log_c\left( \frac{a \cdot b}{a+b} \right)
  • \log_c(a + b) = \log_ca + \log_c\left( 1 + \frac{b}{a} \right)

Réciprocité[modifier | modifier le code]

  • a^{\log_ab} = b\,
  • pour tout nombre réel r, \log_a (a^r) = r

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base[modifier | modifier le code]

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\,

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.

\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb

Limites[modifier | modifier le code]

\lim_{x\to 0} \log_a x = -\infty pour a > 1
\lim_{x\to 0} \log_a x = +\infty pour 0<a<1
\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty pour a>1
\lim_{x\to +\infty} \log_a x = -\infty pour 0<a<1
\lim_{x\to 0}\ \log_a (x)\cdot x^b = 0 pour b rationnel positif
\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 pour b rationnel positif

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée[modifier | modifier le code]

\log'_a(x)=\frac{1}{x\ln a}

Dans le cas particulier de la base e :

\ln'(x)=\frac1x

x>0.

Primitive[modifier | modifier le code]

\int_{x_0}^x\log_at\;\mathrm dt = \left[t\cdot\left(\log_at-\frac{1}{\ln a}\right)\right]_{x_0}^x