Identité de Landsberg-Schaar

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres et en analyse harmonique, l’identité de Landsberg–Schaar est la relation suivante, vraie pour des entiers positifs p et q arbitraires :


\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp\left(\frac{2\pi in^2q}{p}\right)=
\frac{1+i}{2\sqrt{q}}\sum_{n=0}^{2q-1}\exp\left(-\frac{\pi in^2p}{2q}\right).

Bien que les deux membres de l'égalité ne soient que des sommes finies, aucune démonstration par des méthodes finitaires n'a encore été découverte. La démonstration actuelle[1] consiste à poser \tau=2iq/p+\varepsilon (avec \varepsilon>0) dans l'identité suivante (due à Jacobi, et qui est essentiellement un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson en analyse harmonique) :


\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2\tau}=\frac{1}{\sqrt{\tau}}
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-\pi n^2/\tau}

puis de faire tendre \varepsilon vers 0.

Prenant q = 1, l'identité se réduit à la formule donnant la valeur des sommes quadratiques de Gauss.

Si pq est pair, on peut réécrire l'identité sous la forme plus symétrique


\frac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp\left(\frac{\pi in^2q}{p}\right)=
\frac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{q}}\sum_{n=0}^{q-1}\exp\left(-\frac{\pi in^2p}{q}\right)
.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landsberg–Schaar relation » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) H. Dym et H.P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press, 1972.