Identité de Binet-Cauchy

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que[1] :


\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) =
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr)
+ \sum_{1\le i < j \le n}
(a_i b_j - a_j b_i )
(c_i d_j - c_j d_i )

pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où ai = ci et bj = dj, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Relation avec l'algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur (qui s'identifie, pour n = 3, avec le produit vectoriel), l'identité peut s'écrire

(a \cdot c)(b \cdot d) = (a \cdot d)(b \cdot c) + (a \wedge b) \cdot (c \wedge d)\,

a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

(a \wedge b) \cdot (c \wedge d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c).\,

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)

|a \wedge b|^2 = |a|^2|b|^2 - |a \cdot b|^2 .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :


\sum_{1\le i < j \le n}
(a_i b_j - a_j b_i )
(c_i d_j - c_j d_i )

=
\sum_{1\le i < j \le n}
(a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i)
+\sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-
\sum_{1\le i < j \le n}
(a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i)
-
\sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i
,

ce qui permet de regrouper ainsi  :


=
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i c_i b_j d_j
-
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i d_i b_j c_j.

Factorisant les termes indexés par i, l'identité en résulte.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m , on a

\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset\{1,\ldots,n\}\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B_S),

où, S étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant m éléments, AS est la matrice m×m dont les colonnes sont celles de A ayant leurs indices dans S, et de même BS est la matrice m×m formée des lignes de B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant


A=\begin{pmatrix}a_1&\dots&a_n\\b_1&\dots& b_n\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}c_1&d_1\\\vdots&\vdots\\c_n&d_n\end{pmatrix}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, CRC concise encyclopedia of mathematics, CRC Press,‎ 2003, 2e éd. (ISBN 978-1-58488347-0), « Binet-Cauchy identity », p. 228