Identité d'Euler

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler du théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables).

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

  \mathrm e^{\mathrm i \pi} + 1 = 0 \ .

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaitre dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.

Selon Richard Feynman, elle est « la formule la plus remarquable du monde »[1], où e, base du logarithme naturel représente l’analyse, l'unité imaginaire i représente l’algèbre, la constante d'Archimède \pi représente la géométrie, l'entier 1 l’arithmétique et le nombre 0 les mathématiques.

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel \ x, \mathrm e^{\mathrm ix} = \cos x + \mathrm i \sin x \,\!, qui est vrai en particulier pour \ x = \pi (ou \ \cos(\pi) = -1 et \ \sin(\pi) = 0).

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

\forall z\,\in\mathbb{C} \quad \mathrm e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées \left(1 + \dfrac{\mathrm i\pi}{N}\right)^N est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Notes et références[modifier | modifier le code]