Identité d'Euler

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

$\mathrm e^{\mathrm i \pi} + 1 = 0 \ .$

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaitre dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.

Selon Richard Feynman, elle est « la formule la plus remarquable du monde », où e, base du logarithme naturel représente l’analyse, l'unité imaginaire i représente l’algèbre, la constante d'Archimède $\pi$ représente la géométrie, l'entier 1 l’arithmétique et le nombre 0 les mathématiques.

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel $\ x$, $\mathrm e^{\mathrm ix} = \cos x + \mathrm i \sin x \,\!$, qui est vrai en particulier pour $\ x = \pi$ (or $\ \cos(\pi) = -1$ et $\ \sin(\pi) = 0$).

Démonstration

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  Juxtaposition de 8 triangles rectangles

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  Juxtaposition de 16 triangles rectangles

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  Illustration du résultat

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

$\forall z\,\in\mathbb{C} \quad \mathrm e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n$

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\left(1 + \dfrac{\mathrm i\pi}{N}\right)^N$ est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Voir aussi

• Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables), un résultat d'Euler d'analyse à plusieurs variables.