Identité d'Euler

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématique, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler.

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

où $\ e$ est la base du logarithme népérien, $\ i$ est l'unité des imaginaires purs (vérifiant $\ i^2=-1$) et $\ \pi$ est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel $\ x$, $\ e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$, qui est vrai en particulier pour $\ x = \pi$ (or $\ \cos(\pi) = -1$ et $\ \sin(\pi) = 0$).

Démonstration

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  Juxtaposition de 8 triangles rectangles

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  Juxtaposition de 16 triangles rectangles

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  Illustration du résultat

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

$\forall z\,\in\mathbb{C} \quad e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n$

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées $\left(1 + \dfrac{i\pi}{N}\right)^N$ est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Voir aussi

• Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables), un résultat d'Euler d'analyse à plusieurs variables.