Identité d'Euler

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler du théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables).

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

  \mathrm e^{\mathrm i \pi} + 1 = 0 \ .

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.

Selon Richard Feynman, elle est « la formule la plus remarquable du monde »[1], où e, base du logarithme naturel représente l’analyse, l'unité imaginaire i représente l’algèbre, la constante d'Archimède \pi représente la géométrie, l'entier 1 l’arithmétique et le nombre 0 les mathématiques.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par l'analyse complexe[modifier | modifier le code]

Cette formule est un cas particulier de la formule d'Euler en analyse complexe : pour tout nombre réel \ x, \mathrm e^{\mathrm ix} = \cos x + \mathrm i \sin x \,\!, qui est vrai en particulier pour \ x = \pi (ou \ \cos(\pi) = -1 et \ \sin(\pi) = 0).

Par la géométrie[modifier | modifier le code]

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de triangles rectangles.

\forall z\,\in\mathbb{C} \quad \mathrm e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n

Or les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées \left(1 + \dfrac{\mathrm i\pi}{N}\right)^N est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles.

Beauté mathématique[modifier | modifier le code]

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique[2].

En effet, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales [3]:

  • 0, l'élément neutre de l'addition.
  • 1, l'élément neutre de la multiplication.
  • π, omniprésente en trigonométrie, la géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
  • e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
  • i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir son usage élargi.

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

Hommages[modifier | modifier le code]

Paul Nahin, professeur émérite de l'Université du New Hampshire, écrit dans son ouvrage consacré à l'identité d'Euler et ses applications en analyse de Fourier que la formule définit « l'étalon-or de la beauté mathématique »[4].

Après avoir prouvé l'identité d'Euler au cours d'une présentation, Benjamin Peirce, philosophe, mathématicien et professeur de l'université de Harvard au XIXe siècle, a déclaré « il est absolument paradoxal ; on ne peut pas la comprendre, on ignore ce qu'elle signifie, mais nous l'avons prouvé, et ainsi nous savons que ce doit être vrai »[5].

Carl Friedrich Gauss aurait dit que si la formule n'est pas immédiatement apparente à un étudiant à moins qu'on ne la lui montre, celui-ci ne sera jamais un mathématicien de premier ordre[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Equations as icons.
  2. James Gallagher, « Mathematics: Why the brain sees maths as beauty », BBC News online,‎ 13 février 2014 (lire en ligne)
  3. Paulos, p. 117.
  4. Cité dans Crease, 2007.
  5. Maor p. 160 et Kasner & Newman pp. 103–104.
  6. (en)G. Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004), p. 202 (lire en ligne)