Hypothèse des grands nombres de Dirac

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L'hypothèse des grands nombres de Dirac se rapporte à une observation faite par Paul Dirac en 1937 concernant les rapports entre les échelles de taille de l'univers et les échelles des particules élémentaires. C'est, historiquement, la première tentative de mettre en connexion deux domaines a priori très éloignés de la physique, à savoir la cosmologie et la physique des particules.

L'observation de Dirac est que la cosmologie fait apparaître des grands nombres quand ses ordres de grandeur sont comparés à ceux du monde microscopique. Par exemple, le rapport de la taille de l'Univers observable (approximativement égal au rayon de Hubble — voir Horizon cosmologique) à la taille d'un électron (donnée par sa longueur d'onde de Compton) est donné par

R_1 = \frac{c}{H_0} \frac{m_{\rm e} c}{\hbar} = \frac{m_{\rm e} c^2}{\hbar H_0},

c est la vitesse de la lumière, H0 le paramètre de Hubble, me la masse de l'électron et ħ la constante de Planck réduite. Numériquement, le rapport R1 vaut environ

R_1 \simeq 2 \times 10^{40}.

Dirac, et avec lui certains de ses contemporains ont cherché à relier ce grand nombre à un autre grand nombre, à savoir le rapport entre les forces électromagnétique et gravitationnelle entre deux particules élémentaires, par exemple deux électrons. Ce second rapport vaut

R_2 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{G m_{\rm e}^2},

q représente la charge élémentaire, ε0 la permittivité du vide et G la constante de gravitation. Numériquement, ce second rapport vaut

R_2 \simeq 3 \times 10^{41}.

Par conséquent le rapport R1 / R2 est « proche » de 1 au sens où sa valeur ainsi que celle de son inverse sont très petites devant R1 ou R2.

L'idée de Dirac était de dire que ce type de coïncidence ne pouvait être dû au hasard, aussi que ces deux nombres devaient « naturellement » se trouver dans le même ordre de grandeur. Comme tous les paramètres intervenant dans son équation étaient censés être constants au cours du temps à l'exception de la constante de Hubble, Dirac proposa comme explication qu'un paramètre supplémentaire devait lui aussi varier, paramètre qu'il proposa être la constante de gravitation G.

Une variation temporelle de G posait cependant un certain nombre de problèmes car la théorie de la relativité générale prédisait que G devait être constante, aussi fallait-il la remplacer par une théorie plus complexe autorisant une variation de G comme le permettraient dans les années 1960 les théories tenseur-scalaire.

L'interprétation moderne de la coïncidence mise à jour par Dirac est en rapport avec le principe anthropique, à savoir le fait que le moment où nous observons l'univers (qui détermine la valeur observée du paramètre de Hubble) n'est pas aléatoire mais est déterminé par la cosmologie et l'évolution stellaire : il faut que l'Univers soit suffisamment vieux pour que les premières générations d'étoiles aient eu le temps de produire des éléments chimiques autres que l'hélium, puis que la vie soit apparue autour d'une étoile de type solaire. Cet épisode ne peut a priori durer indéfiniment car le taux de formation d'étoiles décroît nettement au cours du temps et fini par se tarir. L'époque de l'histoire de l'univers propice à l'existence d'êtres doués de raison capables de s'interroger sur l'univers correspond à un âge situé entre quelques milliards et quelques dizaines de milliards d'années, ce qui à un ou deux ordres de grandeur près implique la valeur actuelle du paramètre de Hubble. Ainsi la concomitance des rapports R1 et R2 n'est-elle pas une coïncidence comme justement inféré par Dirac, mais l'explication qu'il en avant donné était par contre fausse.