Homomorphisme du flux

En géométrie symplectique, l’homomorphisme du flux est un homomorphisme du revêtement universel de la composante neutre du groupe des symplectomorphismes d'une variété symplectique compacte $(M,\omega )$ dans le premier groupe de cohomologie de M à coefficients réels :

$Flux:{\widehat {Symp_{0}}}(M,\omega )\rightarrow H^{1}(M,\mathbf {R} )$.

Si $\Psi$ est un arc différentiable de symplectomorphismes, on définit :

$X_{t}\circ \Psi _{t}={\frac {d}{dt}}\Psi _{t}$.

$X_{t}$ est un champ localement hamiltonien, ie $\iota (X_{t})\omega$ est une 1-forme différentielle fermée sur M. En définissant $H^{1}(M,\mathbf {R} )$ comme le premier groupe de cohomologie du complexe de Rham, on pose :

$Flux(\Psi )=\int \left[\iota (X_{t})\omega \right]dt$.

En tant que groupe commutatif, $H^{1}(M,\mathbf {R} )$ est isomorphe au groupe des homomorphismes $\pi _{1}(M)\rightarrow \mathbb {R}$. L'élément $Flux(\Psi )$ peut se redéfinir comme suit :

$Flux(\Psi )(\alpha )=\int _{\Psi \alpha }\omega$.

où $\Psi \alpha$ désigne l'application $\mathbf {T} ^{2}\rightarrow M$ définie par :

$\Psi \alpha (t,s)=\Psi _{t}\left[\alpha (t)\right]$.

Il a été démontré que $Flux(\Psi )$ est nul ssi $\Psi$ est isotope à extrémité fixé à un flot hamiltonien. En particulier, dans ce cas, $\Psi _{1}$ est un difféomorphisme hamiltonien.

L'image du groupe fondamental de $Symp_{0}(M,\omega )$ sous l'homomorphisme du Flux est un sous-groupe de $H^{1}(M,\omega )$ appelé le groupe de Calabi $\Gamma$.