Groupes d'homotopie des sphères

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Enroulement d'une sphère à deux dimensions autour d'une autre sphère

En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions n et k égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre. La notion, définie au départ pour des sphères des dimension 1 (cercles) et de dimension 2, se généralise à des sphères de toutes dimensions (les n-sphères).

Définition et premières propriétés[modifier | modifier le code]

Le groupe d'homotopie d'ordre j de la sphère de dimension n, \mathbb S^n , est l'ensemble, noté \pi_j(\mathbb S^n) =[\mathbb{S}^j\to\mathbb S^n], des classes d'homotopie d'applications qui envoient un point fixé de la sphère \mathbb{S}^j sur un point fixé de la sphère \mathbb S^n. Cet ensemble (pour j et n fixés), noté \pi_j(\mathbb S^n), peut être muni d'une structure de groupe abélien.

Si j<n, ce groupe est réduit à un seul élément : \pi_j(\mathbb S^n)=\{0\}.

Si j=n, ce groupe est monogène infini (c'est-à-dire infini et engendré par un seul élément) : \pi_n(\mathbb S^n)=\Z (cela résulte du point précédent, par le théorème d'Hurewicz).

Si j>n, le groupe \pi_j(\mathbb S^n) est soit un groupe fini, soit la somme d'un groupe fini et d'un groupe infini monogène.

La suite spectrale de Serre fut inventée pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, mais aucune liste complète de ces groupes n'est connue. Pour calculer ces groupes, on utilise aussi les fibrations de Hopf et la technique des variétés équipées (framed en anglais) qui provient de la théorie du cobordisme.

Dimension 1 : groupes d'homotopie des cercles[modifier | modifier le code]

Une sphère de dimension 1 est un cercle. On a :

  • \pi_1(\mathbb S^1)=\Z,
  • \pi_q(\mathbb S^1)=0,\quad pour \quad  q\ge2.

Sphères de dimension 2 et 3[modifier | modifier le code]

Pour la notion de sphère à trois dimensions, voir l'article 3-sphère.

Les sphères de dimension au moins deux sont simplement connexes, en particulier :

\pi_1(\mathbb S^2)=\pi_1(\mathbb S^3)=0

En toute dimension n supérieure ou égale à 3, on a : \pi_2(\mathbb S^n)=0, en particulier :

\pi_2(\mathbb S^3)=0

En toute dimension n, on a : \pi_n(\mathbb S^n)=\Z, en particulier :

\pi_2(\mathbb S^2)=\Z,
\pi_3(\mathbb S^3)=\Z.
Représentation tri-dimensionnelle d'une partie de la fibration de Hopf

En dimensions 2 et 3, la fibration de Hopf

F=S^1\hookrightarrow S^3\rightarrow S^2=B \,\!

donne lieu à une suite exacte d'homotopie,

 \pi_i(S^1)\to \pi_i(S^3) \to \pi_i(S^2) \to \pi_{i-1}(S^1)\to \pi_{i-1}(S^3)\, \cdots

\pi_1(\mathbb S^1)=\Z et pour i\ge 2 , \pi_i(\mathbb S^1)=0. On a donc un isomorphisme :

\pi_i(\mathbb S^3)\simeq\pi_i(\mathbb S^2) pour i\ge3,

en particulier

\pi_3(\mathbb S^2)=\pi_3(\mathbb S^3)=\Z

Pour les groupes d'homotopie supérieurs, d'autres techniques donnent les résultats suivants :

  • \pi_4(\mathbb S^2)=\pi_4(\mathbb S^3)=\Z/(2)
  • \pi_5(\mathbb S^2)=\pi_5(\mathbb S^3)=\Z/(2)
  • \pi_6(\mathbb S^2)=\pi_6(\mathbb S^3)=\Z/(12)
Groupes d'homotopie de \mathbb S^3 et \mathbb S^2
k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
\pi_k(\mathbb S^3)=\pi_k(\mathbb S^2) Z Z2 Z12 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30 Z2×Z6 Z22×Z12 Z22×Z132

Les groupes d'homotopie \pi_i(\mathbb S^3)\simeq\pi_i(\mathbb S^2) sont finis pour i supérieur ou égal à 4.

Théorie générale[modifier | modifier le code]

Table[modifier | modifier le code]

Calculer les groupes d'homotopie des sphères est difficile et les résultats sont compliqués. La table suivante donne une idée de la complexité :

π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7 π8 π9 π10 π11 π12 π13 π14 π15 π16
S1 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 0 Z Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×
Z2
Z84×
Z22
Z22 Z6
S3 0 0 Z Z2 Z2
S4 0 0 0 Z Z2 Z2 Z×Z12 Z22 Z22 Z24×Z3 Z15 Z2 Z23 Z120×
Z12×Z2
Z84×Z25 Z26
S5 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 Z2 Z2 Z2 Z30 Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z22
S6 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 Z Z2 Z60 Z24×Z2 Z23 Z72×Z2
S7 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z120 Z23 Z24
S8 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z×Z120 Z24
S9 0 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240

Les entrées de la table sont soit le groupe trivial 0, soir le groupe monogène infini ℤ, soit les groupes abéliens finis ou encore (cases rouges) le produit de tels groupes finis abéliens et de ℤ.

Stabilité en grandes dimensions[modifier | modifier le code]

Les tables de groupes d'homotopies sont plus facilement organisées en présentant \pi_{n+k}(\mathbb S^n) en fonction de n et de k :

Sn πn πn+1 πn+2 πn+3 πn+4 πn+5 πn+6 πn+7 πn+8 πn+9 πn+10 πn+11 πn+12 πn+13 πn+14 πn+15
S1 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 Z Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30
S3 Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2 Z22 Z12×Z2 Z84×Z22 Z22 Z6 Z30 Z30
S4 Z Z2 Z2 Z×
Z12
Z22 Z22 Z24×Z3 Z15 Z2 Z23 Z120×
Z12×Z2
Z84×Z25 Z26 Z24×
Z6×Z2
Z2520×
Z6×Z2
Z30
S5 Z Z2 Z2 Z24 Z2 Z2 Z2 Z30 Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z22 Z23 Z6×Z2 Z6×Z2 Z30×Z2
S6 Z Z2 Z2 Z24 0 Z Z2 Z60 Z24×Z2 Z23 Z72×Z2 Z504×Z4 Z240 Z6 Z12×Z2 Z60×Z6
S7 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z120 Z23 Z24 Z24×Z2 Z504×Z2 0 Z6 Z24×Z4 Z120×Z23
S8 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z×
Z120
Z24 Z25 Z242×Z2 Z504×Z2 0 Z6×Z2 Z240×
Z24×Z4
Z120×Z25
S9 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z23 Z24 Z24×Z2 Z504×Z2 0 Z6 Z16×Z4 Z240×Z23
S10 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z×Z23 Z12×Z2 Z504 Z12 Z6 Z16×Z2 Z240×Z22
S11 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6×Z2 Z504 Z22 Z6×Z2 Z16×Z2 Z240×Z2
S12 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z×
Z504
Z2 Z6×Z2 Z48×
Z4×Z2
Z240×Z2
S13 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z6 Z16×Z2 Z480×Z2
S14 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z×Z3 Z8×Z2 Z480×Z2
S15 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z4×Z2 Z480×Z2
S16 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z×
Z480×Z2
S17 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2
S18 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2
S19 Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480×Z2

Pour les « grandes » dimensions, on a :

  • \pi_n(\mathbb S^n)=\Z,\quad n\ge1 (première colonne en jaune du tableau précédent)
  • \pi_{n+1}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge3 (deuxième colonne — en mauve — du tableau précédent)
  • \pi_{n+2}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge2 (troisième colonne — turquoise — du tableau précédent)

Comme il peut être conjecturé, il s'avère que \Gamma_k=\pi_{n+k}(\mathbb S^n) est indépendant de n pour n suffisamment grand. Ce phénomène est connu sous le nom de stabilité. Il résulte du théorème de suspension de Freudenthal suivant :

  • Le morphisme de suspension S:\pi_{n+k}(\mathbb S^n)\to\pi_{n+k+1}(\mathbb S^{n+1}) est un isomorphisme pour n\ge k+2
  • et un épimorphisme (morphisme surjectif) pour n=k+1.

Liste des groupes d'homotopie stable[modifier | modifier le code]

Les premiers groupes stables \Gamma_k=\pi_{2k+2}(\mathbb S^{k+2})=\pi_{n+k}(\mathbb S^n),\quad n\ge k+2 sont les suivants :

  • \Gamma_{-j}=\pi_{n-j}(\mathbb S^n)=0,
  • \Gamma_0=\pi_n(\mathbb S^n)=\Z,\quad n\ge1
  • \Gamma_1=\pi_{n+1}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge3
  • \Gamma_2=\pi_{n+2}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge2
  • \Gamma_3=\pi_{n+3}(\mathbb S^n)=\Z/(24),\quad n\ge5
  • \Gamma_4=\pi_{n+4}(\mathbb S^n)=0,\quad n\ge6
  • \Gamma_5=\pi_{n+5}(\mathbb S^n)=0,\quad n\ge7
  • \Gamma_6=\pi_{n+6}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge5
  • \Gamma_7=\pi_{n+7}(\mathbb S^n)=\Z/(240),\quad n\ge9
  • \Gamma_8=\pi_{n+8}(\mathbb S^n)=\Z/(2)\oplus\Z/(2),\quad n\ge10

Les groupes d'homotopie stable sont finis sauf pour k=0.

Groupes d'homotopie stable (en) \ \Gamma_k=\pi_{2k+2}(\mathbb S^{k+2}) avec k inférieur à 23
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
\Gamma_k Z Z2 Z2 Z24 0 0 Z2 Z240 Z22 Z23 Z6 Z504 0 Z3 Z22 Z480Z2 Z22 Z24 Z8Z2 Z264Z2 Z24 Z22 Z22

À partir de k=23, la décomposition de \Gamma_k se complique, par exemple :

\Gamma_{23}=\Z_{65520}\oplus\Z_{24}\oplus\Z_{2}
\Gamma_{23}=\Z_{16}\oplus\Z_8\oplus\Z_2\oplus\Z_9\oplus\Z_3\oplus\Z_5\oplus\Z_7\oplus\Z_{13}
Groupes d'homotopie stable \ \Gamma_k=\pi_{2k+2}(\mathbb S^{k+2}) avec k inférieur à 60
k 0 1 2 3 4 5 6 7
\Gamma_k Z Z2 Z2 Z24=Z8Z3 0 0 Z2 Z240
=Z16Z3Z5
k 8 9 10 11 12 13 14 15
\Gamma_k Z22 Z23 Z6=Z2Z3 Z504
=Z8Z9Z7
0 Z3 Z22 Z480Z2
=Z32Z2Z3Z5
k 16 17 18 19 20 21 22 23
\Gamma_k Z22 Z24 Z8Z2 Z264Z2
=Z8Z2Z3Z11
Z24 Z22 Z22 Z16Z8Z2Z9Z3
Z5Z7Z13
k 24 25 26 27 28 29 30 31
\Gamma_k Z22 Z22 Z22Z3 Z24=Z8Z3 Z2 Z3 Z6=Z2Z3

Z64Z22Z3
Z5Z17

k 32 33 34 35 36 37 38 39
\Gamma_k Z24 Z25 Z4Z23 Z8Z22Z27
Z7Z19
Z6=Z2Z3 Z22Z3 Z2Z60=
Z2Z4Z3Z5

Z16Z25Z32
Z25Z11

k 40 41 42 43 44 45 46 47
\Gamma_k Z25Z4Z3 Z25 Z8Z22Z3 Z552
=Z8Z3Z23
Z8 Z16Z23
Z9Z5
Z24Z3

Z32Z4Z23Z9Z3
Z5Z7Z13

k 48 49 50 51 52 53 54 55
\Gamma_k Z24Z4 Z22Z3 Z3Z23 Z8Z4Z22Z3 Z23Z3 Z24 Z4Z2 Z16Z32Z5Z29
k 56 57 58 59 60 61 62 63
\Gamma_k Z22 Z24 Z22 Z8Z22Z9
Z7Z11Z31
Z4

p-composantes des groupes d'homotopie stable[modifier | modifier le code]

La table précédente incite à s'intéresser à la classe de congruence modulo 4 de k, si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 :

  • Si k est pair (colonnes k=0, k=2, k=4, k=6 du tableau précédent), ou
  • si k est congru à 1 modulo 4 (colonnes k=1 et k=5 du tableau précédent),

alors la p-composante de \Gamma_k est nulle (0) quel que soit p premier supérieur ou égal à 7.

  • Si k est congru à 3 modulo 4 (colonnes k=3 et k=7 du tableau précédent) et si p est premier et supérieur ou égal à 7,

alors la p-composante de \Gamma_k est

  • cyclique et d'ordre p (\Gamma_k(p)=\Z/(p)) si (p-1)/2 divise (k+1)/4,
  • sinon elle est nulle (0).

Par exemple :

  • \Gamma_k(7)=\Z/(7) si k=12n-1 et \Gamma_k(7)=0 sinon.
  • \Gamma_k(11)=\Z/(11) si k=20n-1 et \Gamma_k(11)=0 sinon.
  • \Gamma_k(13)=\Z/(13) si k=24n-1 et \Gamma_k(13)=0 sinon.
  • \Gamma_k(p)=\Z/(p) si k=2(p-1)n-1 et \Gamma_k(p)=0 sinon.

La complexité réside essentiellement dans les 2-, 3- et 5- composantes du groupe \Gamma_k.

Groupes d'homotopie non stables[modifier | modifier le code]

Les premiers groupes non stables sont les suivants :

  • En dimension 2 et 3 (\pi_k(\mathbb S^2)=\pi_k(\mathbb S^3)) :
    • \pi_3(\mathbb S^2)=\pi_3(\mathbb S^3)=\Z
    • \pi_5(\mathbb S^2)=\pi_5(\mathbb S^3)=\pi_4(\mathbb S^2)=\Z/(2)
    • \pi_6(\mathbb S^2)=\pi_6(\mathbb S^3)=\Z/(12)
  • En dimension 4 : \pi_7(\mathbb S^4)=\Z/(12)\oplus\Z

Groupes d'homotopie infinis[modifier | modifier le code]

Les groupes d'homotopie stable \pi_{n+k}(\mathbb S^n) sont finis sauf pour k=0 (\Gamma_0=\Z).

Les groupes d'homotopie instables sont finis sauf les groupes \pi_{4p-1}(\mathbb S^{2p}) (avec p > 0). Ces derniers (\pi_3(\mathbb S^2), \pi_7(\mathbb S^4), \pi_{11}(\mathbb S^6), …) sont isomorphes à la somme directe de \Z et d'un groupe fini.

Groupes d'homotopie non nuls[modifier | modifier le code]

On sait que si n>1, il y a une infinité de groupes \pi_{k}(\mathbb S^n) qui sont non nuls (ce sont des résultats de Jean-Pierre Serre).

On sait aussi que \pi_k(\mathbb S^5)\neq 0 pour tout k>4 (Morton L. Curtis (en)).

Applications[modifier | modifier le code]

  • Pour les applications du groupe fondamental (n=1), voir l'article Groupe fondamental.
  • Le fait que \pi_n(\mathbb S^n)=\Z implique le théorème de Brouwer qui affirme que toute application continue de la boule dans elle-même a un point fixe.

Ce groupe permet de définir le degré de Brouwer d'une application de la sphère dans elle-même.

  • Les groupes d'homotopie stable sont importants en théorie des singularités.
  • Le fait que le 3e groupe d'homotopie stable est ℤ/(24) implique le théorème de Rokhlin (en) qui affirme que la signature (en) d'une variété spinorielle (en) de dimension 4 est divisible par 16.
  • Les groupes d'homotopie stable servent à décrire les groupes de h-cobordisme (en) des homotopies orientées de sphères, qui pour n différent de 4 est le groupe des sphères exotiques orientées de dimension n.
  • Les groupes d'homotopie des sphères sont liés aux classes de cobordisme des variétés.
  • Ils permettent également de calculer les groupes d'homotopie des fibrés, des groupes de Lie et des espaces symétriques.

Généralisation en géométrie algébrique[modifier | modifier le code]

En géométrie algébrique, on définit les \mathbb S^{n,i} qui sont les sphères de dimension n et de poids i.

On peut définir les groupes d'homotopie stable des sphères comme colimites (ou limites inductives) de l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de \mathbb S^{2r+n,r} vers \mathbb S^{2r,r+i}.

Références en français[modifier | modifier le code]