Groupe opposé

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Soit G un groupe, noté multiplicativement (par juxtaposition). La loi de composition  \star sur l'ensemble sous-jacent de G définie par :

 x \star y = yx.

est une loi de groupe. Le groupe ainsi défini est appelé[1] le groupe opposé de G, ou l'opposé de G.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • L'élément neutre est le même dans les deux groupes et le symétrique d'un élément donné est également le même dans les deux groupes.
  • L'opposé de l'opposé de G est G lui-même.
  • Un groupe est identique à son opposé si et seulement s'il est commutatif.
  • Dans tous les cas, G est isomorphe à son opposé par l'application x↦x-1.
  • La considération du groupe opposé permet d'éclaircir les rapports entre actions à gauche et actions à droite d'un groupe sur un ensemble.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. I, § 4, no 1; Paris, Hermann, 1970, p. 29.