Groupe de papier peint

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Exemple d'une décoration égyptienne présentant le groupe de papier peint p4m.

Un groupe de papier peint (ou groupe d'espace bidimensionnel, ou groupe cristallographique du plan) est un groupe mathématique constitué par l'ensemble des symétries d'un motif bidimensionnel périodique. De tels motifs, engendrés par la répétition (translation) à l'infini d'une forme dans deux directions du plan, sont souvent utilisés en architecture et dans les arts décoratifs. Il existe 17 groupes de papier peint, qui permettent une classification mathématique de tous les motifs bidimensionnels périodiques.

En termes de complexité, les groupes de papier peint se situent entre les groupes de frise, simples, et les groupes d'espace tridimensionnels.

Introduction[modifier | modifier le code]

Les groupes de papier peint classifient les motifs par leur symétrie. Des différences subtiles peuvent placer des formes similaires dans des motifs de différents groupes, et des formes très différentes peuvent être inclues dans des motifs de même groupe.

Considérons l'exemple suivant :

Les motifs A et B possèdent le même groupe de papier peint, appelé p4m dans la notation de l'Union internationale de cristallographie et *442 en notation des orbifolds. Le motif C possède un groupe de papier peint différent, p4g ou 4*2. Le fait que A et B possèdent le même groupe de papier peint signifie qu'ils possèdent les mêmes symétries, malgré des différences de forme, alors que C possède un différent groupe de papier peint, en dépit de similitudes superficielles.

Au sens large, la symétrie d'un motif est l'ensemble des opérations de symétrie qui transforment le motif et dont le résultat est identique au motif de départ. Par exemple, la symétrie de translation est présente dans un motif quand celui-ci peut être déplacé d'une certaine distance finie et apparaît inchangé. Cela est le cas quand on déplace un ensemble régulier de barres verticales dans le sens horizontal, d'une distance égale à l'espacement entre les barres. Le motif (l'ensemble de barres) apparaît inchangé. En réalité, une telle symétrie n'existe que dans un motif qui se répète exactement à l'infini. Un ensemble de barres verticales ne contenant que cinq barres ne possède pas de symétrie de translation : lorsque l'ensemble est déplacé d'un espacement entre deux barres, la barre d'un côté « disparaît » et une autre barre « apparaît » de l'autre côté. En pratique, cependant, la classification en groupes de papier peint est appliquée à des motifs finis et de petites imperfections peuvent être ignorées.

Seules les isométries du plan euclidien peuvent faire partie d'un groupe de papier peint. Par exemple :

  • si on déplace l'exemple B d'une unité vers la droite ou vers le haut, de façon à ce que chaque carré recouvre le carré qui lui était adjacent au départ, le motif final est exactement le même que celui de départ. Ce type de symétrie est une translation. Les exemples A et C sont similaires, sauf que la direction de la plus petite translation est diagonale, et pas horizontale ou verticale ;
  • si on fait tourner l'exemple B de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, autour du centre de l'un des carrés, on obtient à nouveau exactement le même motif. Cette opération est une rotation. Les exemples A et C possèdent également des rotations de 90°, même s'il est plus difficile de trouver le centre de rotation pour l'exemple C ;
  • il est également possible de retourner l'exemple B par rapport à un axe horizontal qui passe par le milieu du motif. Cette opération est une réflexion. L'exemple B possède aussi des réflexions par rapport à l'axe vertical, ainsi qu'aux diagonales. Il en est de même pour le motif A, mais pas pour le motif C, qui ne peut pas être réfléchi par rapport aux diagonales. Si on réfléchit C par rapport à une diagonale, on n'obtient pas le même motif, mais le motif original déplacé d'une certaine distance. C'est la raison pour laquelle le groupe de papier peint des exemples A et B n'est pas le même que celui de l'exemple C.

Historique[modifier | modifier le code]

La preuve qu'il n'existe que 17 groupes de papier peint a d'abord été fournie par Evgraf Fedorov en 1891[1], puis démontrée indépendamment par George Pólya en 1924[2].

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donnée une tuile P du plan euclidien \mathbb{R}^2, ie une partie compacte et connexe, un groupe G d'isométries est dit de papier peint pour cette tuile ssi

  • \mathbb{R}^2 = \bigcup_{g\in G} g(P)
  •  \forall g,h\in G,\; g(\stackrel{\ \circ}{P}) \cap h(\stackrel{\ \circ}{P}) \neq \emptyset \Rightarrow g(P) = h(P)

où le cercle désigne l'intérieur topologique. Le point exprime que la totalité du plan est recouverte de tuiles, le deuxième que les tuiles ne se chevauchent pas (elles se rencontrent sur leur bord). On montre entre autres qu'un tel groupe a une topologie discrète et contient deux translations linéairement indépendantes.

Deux tels groupes d'isométries (en) sont du même type (du même groupe de papier peint) si ils sont les mêmes, sauf pour une application affine du plan. Par exemple, une translation du plan entier (et donc une translation des centres de rotation et axes de réflexion) ne change pas le groupe de papier peint. Il en est de même pour un changement d'angle entre les vecteurs de translation, tant que ce changement n'ajoute ou n'ôte pas de symétrie (ce n'est le cas qu'en l'absence d'axes de réflexion ou de réflexion glissée, et si l'ordre des rotations n'est pas supérieur à 2). Contrairement au cas tridimensionnel, il est possible de restreindre ces transformations affines à celles qui conservent l'orientation. Ainsi, d'après le théorème de Bieberbach, tous les groupes de papier peint sont des groupes abstraits distincts (contrairement aux groupes de frise, dont deux sont isomorphes à \mathbb Z).

Les motifs bidimensionnels avec une double symétrie de translation peuvent être catégorisés d'après leur type de groupe de symétrie.

Isométries du plan euclidien[modifier | modifier le code]

Les isométries du plan euclidien (en) sont partagées en quatre catégories :

  • les translations, notées Tv, où v est un vecteur de \mathbb{R}^2, qui déplacent tout le plan en appliquant le vecteur de déplacement v ;
  • les rotations, notées RC,θ, où C est un point du plan appelé « centre de rotation » et θ est l'« angle de rotation » ;
  • les réflexions, notées FL, où L est une ligne dans \mathbb{R}^2, dont l'effet est de réfléchir le plan par rapport à la ligne L appelée « axe de réflexion » ou « axe miroir » ;
  • les réflexions glissées, notées GL,d, où L est une ligne dans \mathbb{R}^2 et d une distance. Il s'agit de la combinaison d'une réflexion par rapport à la ligne L et d'une translation le long de L de la distance d.

Condition sur les translations indépendantes[modifier | modifier le code]

Le fait qu'un groupe de papier peint doit contenir deux translations de vecteurs linéairement indépendants implique qu'il existe deux vecteurs v et w de \mathbb{R}^2 linéairement indépendants, tels que le groupe contienne Tv et Tw.

Le but de cette condition est de différencier les groupes de papier peint des groupes de frise, qui possèdent une translation, mais pas deux de vecteurs linéairement indépendants, et de les différencier aussi des groupes ponctuels discrets de symétrie bidimensionnels, qui ne possèdent pas du tout de translation. Autrement dit, les groupes de papier peint classifient des motifs qui se répètent dans deux directions distinctes, au contraire des groupes de frise, qui ne s'appliquent qu'aux motifs ne se répétant que dans une seule direction.

Condition de caractère discret[modifier | modifier le code]

La condition de caractère discret signifie qu'l existe un nombre réel positif ε tel que pour chaque translation Tv du groupe, le vecteur v a pour longueur au moins ε (sauf dans le cas où v est un vecteur nul).

Le but de cette condition est d'assurer que le groupe ait un domaine fondamental compact, c'est-à-dire qu'il ne s'applique qu'à des motifs de maille non nulle (d'aire finie), qui se répète dans le plan.

Une conséquence importante et non-triviale de la condition de caractère discret, combinée à la condition sur les translations de vecteurs linéairement indépendants, est qu'un groupe de papier peint ne peut contenir que des opérations de rotation d'ordre 1, 2, 3, 4 et 6 : chaque rotation dans le groupe doit être d'angle 360°, 180°, 120°, 90° ou 60°. Il s'agit du théorème de restriction cristallographique, qui peut être généralisé pour d'autres dimensions.

Notation des groupes de papier peint[modifier | modifier le code]

Notation cristallographique[modifier | modifier le code]

Comme les opérations de symétrie des groupes de papier peint sont également présentes dans les groupes d'espace, il est possible d'utiliser une notation similaire à la notation de Hermann-Mauguin pour les groupes d'espace, développée par Carl Hermann et Charles Victor Mauguin. Il s'agit de la notation recommandée par l'Union internationale de cristallographie[3]. Un exemple de groupe de papier peint dans cette notation est p31m, avec quatre symboles (lettres ou chiffres) ; la notation d'un groupe de papier peint peut cependant contenir moins de symboles, comme cmm ou pg.

Pour les groupes de papier peint, la notation débute avec une lettre désignant le mode de réseau : p pour un réseau primitif et c pour un réseau centré. Ce premier symbole est généralement suivi par un chiffre, n, indiquant l'ordre de rotation le plus élevé : 1 (identité), 2, 3, 4 ou 6. Les deux symboles suivants indiquent des symétries par rapport à l'une des directions de translation du motif, appelée « direction principale » ; si il existe un miroir perpendiculaire à une direction de translation, c'est cette direction qui est choisie comme direction principale (si il existe plusieurs directions équivalentes par symétrie, une de ces directions est choisie). Les symboles possibles sont m (axe de réflexion), g (axe de réflexion glissée) ou 1 (identité, pas de symétrie plus haute). L'axe de réflexion ou de réflexion glissée est perpendiculaire à la direction principale de symétrie pour le troisième symbole, et soit parallèle, soit incliné d'un angle de 180°/n (si n>2) pour le dernier symbole. Plusieurs groupes possèdent des opérations de symétrie supplémentaires à celles présentes dans leurs symboles, qui découlent de la combinaison de toutes les opérations de symétrie. Pour cette raison, il est courant d'utiliser un symbole raccourci pour désigner certains groupes de papier peint. La notation raccourcie peut omettre le premier symbole de rotation, ou des opérations de réflexion, tant qu'il n'existe pas de confusion possible avec un autre groupe.

Une maille primitive est la plus petite région convexe du plan permettant de paver entièrement le plan sans recouvrement ni vide à l'aide des translations de réseau. Quasiment tous les groupes de papier peint sauf deux sont décrits par rapport à une maille primitive, utilisant un système de coordonnées utilisant les plus petits vecteurs de translation linéairement indépendants du réseau. Dans les deux cas non primitifs, la description de la symétrie est faite par rapport à une maille centrée, deux fois plus grande que la maille primitive, et qui possède donc des translations internes ; la direction des côtés de la maille est différente de celle des vecteurs de translation définissant la maille primitive. La notation de Hermann-Mauguin pour les groupes d'espace utilise des modes de réseau supplémentaires.

Exemples :

  • p2 (p211) : maille primitive, rotation d'ordre 2, pas de réflexion ni de réflexion glissée ;
  • p4g (p4gm) : maille primitive, rotation d'ordre 4, réflexion glissée orthogonalement à la direction principale, réflexion par rapport à un axe incliné de 45° par rapport à la direction principale ;
  • cmm (c2mm) : maille centrée, rotation d'ordre 2, réflexions orthogonalement et parallèlement à la direction principale ;
  • p31m (p31m) : maille primitive, rotation d'ordre 3, réflexion par rapport à un axe incliné de 60° par rapport à la direction principale.

Le tableau suivant indique les groupes de papier peint dont la notation raccourcie diffère de la notation complète :

Notation raccourcie p2 pm pg cm pmm pmg pgg cmm p4m p4g p6m
Notation complète p211 p1m1 p1g1 c1m1 p2mm p2mg p2gg c2mm p4mm p4gm p6mm

Les autres groupes sont p1, p3, p3m1, p31m, p4 et p6.

Notation des orbifolds[modifier | modifier le code]

La notation des orbifolds pour les groupes de papier peint a été introduite par John Horton Conway[4],[5]. Elle n'est pas basée sur la cristallographie, mais sur la topologie.

Les dix-sept groupes de papier peint[modifier | modifier le code]

Chaque groupe dans cette section possède deux diagrammes de structure de maille, qui sont interprétés de la manière suivante :

Wallpaper group diagram legend rotation2.svg un centre de rotation d'ordre 2 (180°)
Wallpaper group diagram legend rotation3.svg un centre de rotation d'ordre 3 (120°)
Wallpaper group diagram legend rotation4.svg un centre de rotation d'ordre 4 (90°)
Wallpaper group diagram legend rotation6.svg un centre de rotation d'ordre 6 (60°)
Wallpaper group diagram legend reflection.svg un axe de réflexion
Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg un axe de réflexion glissée

Dans les diagrammes de gauche, l'aire jaune représente le domaine fondamental, aussi appelé unité asymétrique, c'est-à-dire la plus petite partie du motif qui peut servir à reconstruire le motif en entier à partir de toutes les opérations de symétrie du groupe. Les diagrammes de droite montrent la maille primitive du réseau corresopndant aux plus petites translations ; la maille dans les diagrammes de gauche a parfois une aire deux fois plus grande.

Famille cristalline monoclinique[modifier | modifier le code]

Groupe p1[modifier | modifier le code]

Groupe p2[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour p2
Structure de maille pour p2
  • Notation des orbifolds : 2222
  • Famille cristalline et système réticulaire : monoclinique
  • Groupe ponctuel de symétrie : 2 (notation de Hermann-Mauguin), C2 (notation de Schoenflies)
  • Le diagramme du groupe p2 contient quatre centres de rotation d'ordre 2 (180°), mais pas d'axe de réflexion ni de réflexion glissée.
Exemples pour le groupe p2

Famille cristalline orthorhombique[modifier | modifier le code]

Groupe pm[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour pm
Structure de maille pour pm
  • Notation des orbifolds : **
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : m (notation de Hermann-Mauguin), D1 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe pm ne possède pas de rotation. Il contient des réflexions d'axes parallèles.
Exemples pour le groupe pm

Les motifs des deux premiers exemples ont un axe de symétrie vertical ; les deux derniers ont chacun un axe de symétrie diagonal différent.

Dans le dernier exemple, strictement parlant, le groupe du motif est p1 : le segment reliant deux ovales d'une même ligne brise la symétrie miroir.

Groupe pg[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour pg
Structure de maille pour pg
  • Notation des orbifolds : xx
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : m (notation de Hermann-Mauguin), D1 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe pg ne contient que des réflexions glissées d'axes parallèles entre eux. Il n'y a ni rotation ni réflexion pure.
Exemples pour le groupe pg

Sans les détails de structure, le groupe du tapis est pmg ; avec les détails de structure mais en ignorant les couleurs, le groupe est pgg.

Dans l'exemple du pavage carré adouci, les axes de réflexion glissée sont diagonaux, du haut à gauche vers le bas à droite. En ignorant les couleurs, la symétrie n'est plus pg mais p4g.

Groupe cm[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour cm
Structure de maille pour cm
  • Notation des orbifolds : *x
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : m (notation de Hermann-Mauguin), D1 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe cm ne contient pas de rotation. Il a des réflexions d'axes parallèles entre eux. Il existe au moins une réflexion glissée dont l'axe n'est pas un axe de réflexion et est situé exactement entre deux axes de réflexion.
  • Ce groupe décrit la symétrie de lignes décalées d'objets identiques possédant un axe de symétrie perpendiculaire aux lignes (chaque ligne est déplacée par rapport à ses voisines dans le sens de la longueur d'une demi-translation de celle des objets composant la ligne).
Exemples pour le groupe cm

Groupe pmm[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour pmm
Structure de maille pour pmm
  • Notation des orbifolds : *2222
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : mm (notation de Hermann-Mauguin), D2 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe pmm possède des réflexions par rapport à des axes dans deux directions perpendiculaires, et des rotations d'ordre 2 (180°) autour de quatre centres, situés à l'intersection des axes miroirs.
Exemples pour le groupe pmm

Dans le troisième exemple, si on ne considère pas les couleurs, le groupe de papier peint est du type p4m.

Groupe pmg[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour pmg
Structure de maille pour pmg
  • Notation des orbifolds : 22*
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : mm (notation de Hermann-Mauguin), D2 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe pmg possède des rotations d'ordre 2 (180°) autour de deux centres non équivalents dans la maille et des réflexions par rapport à une seule direction. Il possède des réflexions glissées d'axes perpendiculaires aux axes de réflexion. Les centres de rotation sont tous situés sur les axes de réflexion glissée.
Exemples pour le groupe pmg

Groupe pgg[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour pgg
Structure de maille pour pgg
  • Notation des orbifolds : 22x
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : mm (notation de Hermann-Mauguin), D2 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe pgg contient deux rotations d'ordre 2 (180°) et des réflexions glissées dans deux directions perpendiculaires. Les centres de rotation ne sont pas situés sur les axes de réflexion glissée. Il n'y a pas de réflexion.
Exemples pour le groupe pgg

Groupe cmm[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour cmm
Structure de maille pour cmm
  • Notation des orbifolds : 2*22
  • Famille cristalline et système réticulaire : orthorhombique
  • Groupe ponctuel de symétrie : mm (notation de Hermann-Mauguin), D2 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe cmm contient des réflexions d'axes selon deux directions perpendiculaires et une rotation d'ordre 2 (180°) dont le centre n'est pas sur un axe de réflexion. Il possède également deux rotations d'ordre 2 dont les centres sont à l'intersection de deux axes de réflexion : l'appliquation successive de deux réflexions d'axes perpendiculaires est identique à l'appliquation d'une rotation d'ordre 2 autour du point d'intersection des deux axes de réflexion.
  • Ce groupe est fréquemment rencontré dans la vie quotidienne, car il correspond à l'arrangement de briques le plus souvent utilisé en construction (voir le deuxième exemple ci-dessous).
Exemples pour le groupe cmm

Dans le premier exemple, le groupe de papier peint n'est cmm que si l'on ignore la couleur ; sinon, il s'agit du groupe pg. Dans le troisième exemple, en ignorant la couleur, on obtient le groupe p4g.

Autres exemples : empilements compacts de cercles de tailles différentes

Famille cristalline quadratique[modifier | modifier le code]

Groupe p4[modifier | modifier le code]

Exemple et diagramme pour p4
Structure de maille pour p4
  • Notation des orbifolds : 442
  • Famille cristalline et système réticulaire : quadratique
  • Groupe ponctuel de symétrie : 4 (notation de Hermann-Mauguin), C4 (notation de Schoenflies)
  • Le groupe p4 possède deux rotations d'ordre 4 (90°) de centres différents et une rotation d'ordre 2 (180°). Il ne possède ni réflexion, ni réflexion glissée.
Exemples pour le groupe p4

Un examen attentif du premier exemple montre que malgré les apparences, le motif ne contient pas d'axe de réflexion.

Groupe p4m[modifier | modifier le code]

Groupe p4g[modifier | modifier le code]

Famille cristalline hexagonale[modifier | modifier le code]

Groupe p3[modifier | modifier le code]

Groupe p3m1[modifier | modifier le code]

Groupe p31m[modifier | modifier le code]

Groupe p6[modifier | modifier le code]

Groupe p6m[modifier | modifier le code]

Sur le nombre de groupes de papier peint[modifier | modifier le code]

Guide de reconnaissance des groupes de papier peint[modifier | modifier le code]

Pour déterminer le groupe de papier peint d'un motif, il est possible d'utiliser le tableau suivant[6] :

Plus petit angle
de rotation
Contient une réflexion ?
Oui Non
360° / 6 = 60° p6m (*632) p6 (632)
360° / 4 = 90° Contient un miroir à 45° ? p4 (442)
Oui : p4m (*442) Non : p4g (4*2)
360° / 3 = 120° Contient un centre de rotation
en dehors des miroirs ?
p3 (333)
Oui : p31m (3*3) Non : p3m1 (*333)
360° / 2 = 180° Contient des réflexions perpendiculaires ? Contient une réflexion glissée ?
Oui Non
Contient un centre de rotation
en dehors des miroirs ?
pmg (22*) Oui : pgg (22X) Non : p2 (2222)
Oui : cmm (2*22) Non : pmm (*2222)
aucun = 360° Contient un axe de réflexion glissée
en dehors des miroirs ?
Contient une réflexion glissée ?
Oui : cm (*X) Non : pm (**) Oui : pg (XX) Non : p1 (O)

Les cinq réseaux de Bravais[modifier | modifier le code]

Il existe 5 types de réseau ou réseaux de Bravais bidimensionnels. Les modes de réseau possibles sont les modes primitif (p) et centré (c). Les réseaux de Bravais bidimensionnels sont notés par deux lettres minuscules italiques. La première désigne la famille cristalline : m, o, t et h. La deuxième désigne le mode de réseau : p et c. Le groupe de papier peint d'un réseau de Bravais sans motif représente la symétrie maximale que l'on peut trouver dans un motif de ce type de réseau.

  • Famille cristalline hexagonale. Dans les cinq cas où l'on a une rotation d'ordre 3 ou 6, la maille primitive est un losange avec les angles 120° et 60°. Le réseau de Bravais est noté hp ; sa symétrie en l'absence de motif est p6m.
  • Famille cristalline quadratique ou tétragonale[7]. Dans les trois cas où une rotation d'ordre 4 est présente, la maille primitive est un carré. Le réseau de Bravais est noté tp ; sa symétrie en l'absence de motif est p4m.
  • Famille cristalline orthorhombique.
    • Dans les cinq cas où l'on a soit des réflexions, soit des réflexions glissées, mais pas les deux à la fois, la maille primitive est un rectangle. Le réseau de Bravais est noté op ; sa symétrie en l'absence de motif est pmm.
    • Dans les deux cas où réflexion et réflexion glissée sont présentes en même temps, la maille primitive est un losange quelconque. On préfère utiliser dans ce cas une maille rectangulaire centrée, qui permet de mieux rendre compte de la symétrie du réseau. Le réseau de Bravais est noté oc ; sa symétrie en l'absence de motif est cmm.
  • Famille cristalline monoclinique. Dans le cas où il n'y a qu'une rotation d'ordre maximum 2, la maille primitive est un parallélogramme. Le réseau de Bravais est noté mp ; sa symétrie en l'absence de motif est p2.

Groupes de symétrie[modifier | modifier le code]

Transformations sur les groupes de papier peint[modifier | modifier le code]

Le groupe de papier peint d'un motif est invariant sous l'action d'isométries et de dilatations uniformes (similitudes).

Les applications affines bijectives quelconques conservent la symétrie translationnelle d'un motif. Il en est de même pour les rotations d'ordre 2 ; les rotations d'ordre pair (4 et 6) ne sont pas forcément conservées mais sont transformées au moins en rotations d'ordre 2.

Les réflexions et réflexions glissées par rapport à un axe sont conservées lors d'une contraction ou d'une expansion le long de ou perpendiculaire à cet axe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (ru) Evgraf Fedorov, « Simmetrija na ploskosti », Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, vol. 28, no 2,‎ 1891, p. 245-291
  2. (de) George Pólya, « Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene », Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, no 1,‎ 1924, p. 278–282 (lien DOI?)
  3. (en) International Tables for Crystallography, vol. A : Space-group symmetry, Th. Hahn, Kluwer Academic Publishers,‎ 2005 (réimpr. corrigée), 5e éd. (ISBN 978-0-470-68908-0)
  4. (en) John Horton Conway, « The Orbifold Notation for Surface Groups », dans Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990 : Groups, Combinatorics and Geometry, M. W. Liebeck et J. Saxl, coll. « London Math. Soc. Lecture Notes Series » (no 165),‎ Cambridge University Press, Cambridge, 1992, p. 438–447
  5. (en) John Horton Conway, Heidi Burgiel et Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, Taylor and Francis,‎ 2008, 426 p. (ISBN 1-56881-220-5)
  6. (en) Paulo G. Radaelli, Symmetry in crystallography : Understanding the international tables, Oxford University Press,‎ 2011 (ISBN 978-0-19-955065-4), p. 49
  7. L’adjectif d'origine latine quadratique est plus utilisé en français que l'adjectif d'origine grecque tétragonal. Toutefois, ce dernier est l'adjectif standard utilisé dans les Tables internationales de cristallographie. Par ailleurs, les symboles des réseaux de Bravais dans cette famille utilisent la première lettre t de l'adjectif tétragonal.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Ressources et programmes[modifier | modifier le code]