Groupe de Schützenberger

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En algèbre générale, et notamment en théorie des demi-groupes, le groupe de Schützenberger est une groupe associé à une \mathcal{H}-classe, au sens des relations de Green d'un demi-groupe. Les groupes de Schützenberger de deux \mathcal{H}-classes d'une même \mathcal{D}-classe sont isomorphes. Si une \mathcal{H}-classe est un groupe, le groupe de Schützenberger de cette \mathcal{H}-classe est isomorphe à cette classe.

Il y a en fait deux groupes de Schützenberger associés à une \mathcal{H}-classe donnée; ils sont anti-isomorphes l'un de l'autre.

Les groupes de Schützenberger ont été décrits par Marcel-Paul Schützenberger en 1957[1]. Ils ont été nommés ainsi dans le livre de Alfred H. Clifford et Gordon Preston[2],[3].

Le groupe de Schützenberger[modifier | modifier le code]

Soit S un demi-groupe. On définit S^1 comme étant égal à S si S est un monoïde, sinon égal à S\cup\{1\}, où 1 est un élément neutre ajouté, donc vérifiant a1=1a=a pour tout a de S^1.

La relation de Green \mathcal{H} est définie comme suit. Soient a et b deux éléments de S. Alors

a \mathcal{H} b si et seulement s'il existe x, y, z, t dans S^1 tels que xa=yb et az = bt.

La \mathcal{H}-classe d'un élément a est notée H(a). C'est l'ensemble des éléments b de S tels que a \mathcal{H} b .

Soit H une \mathcal{H}-classe de S. Soit T(H) l’ensemble des éléments t de S^1 tels que Ht est un sous-ensemble de H. Chaque t de T(H) définit une transformation, notée \gamma_t :H\to H de H dans lui-même qui envoie un élément h sur ht :

\gamma_t : h\mapsto ht.

L'ensemble \Gamma(H) de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite (\gamma_{ts}=\gamma_t\circ\gamma_s). C'est le groupe de Schützenberger associé à la \mathcal{H}-classe H. L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite \delta_t : h\mapsto th.

Exemples[modifier | modifier le code]

Toute \mathcal{H}-classe H a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger \Gamma(H). Si H est un sous-groupe maximal d'un monoïde M, alors H est une \mathcal{H}-classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Applications[modifier | modifier le code]

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Marcel-Paul Schützenberger, « D-représentation des demi-groupes », Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, vol. 244,‎ 1957, p. 1994–1996 (lire en ligne)
  2. (en) A. H. Clifford et G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups, vol. I, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (no 7),‎ 1961, xv+224 p.
  3. Voir aussi (en)Herbert Wilf et al., « In memorium: Marcel-Paul Schützenberger (1920–1996) », The Electronical Journal of Combinatorics,‎ 17 juillet 1997

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schutzenberger group » (voir la liste des auteurs)